Даны точки А(1; 2; -1), B(2; 3; 0), С(3; 6; 3) и (0; 0; -4). Чему равен объем пирамиды АВСD? Полученный результат умножить на 9.
Давайте решим задачу поэтапно, чтобы найти объем пирамиды, вершинами которой являются точки А(1; 2; -1), B(2; 3; 0), C(3; 6; 3) и D(0; 0; -4).
Шаг 1. Запишем координаты точек:
- \( A(1, 2, -1) \)
- \( B(2, 3, 0) \)
- \( C(3, 6, 3) \)
- \( D(0, 0, -4) \)
Шаг 2. Пусть точка \( D \) — вершина пирамиды, а основаниями будут треугольники \( ABC \).
Объем пирамиды, у которой вершина \( D \), а основание — треугольник \( ABC \), вычисляется по формуле:
\[ V = \frac{1}{6} \left| \det(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}) \right| \]
где
- \(\vec{AB} = B - A\),
- \(\vec{AC} = C - A\),
- \(\vec{AD} = D - A\).
Шаг 3. Вычислим векторы:
\[ \vec{AB} = (2 - 1, 3 - 2, 0 - (-1)) = (1, 1, 1) \] \[ \vec{AC} = (3 - 1, 6 - 2, 3 - (-1)) = (2, 4, 4) \] \[ \vec{AD} = (0 - 1, 0 - 2, -4 - (-1)) = (-1, -2, -3) \]
Шаг 4. Теперь найдём смешанный произведение трёх векторов, которое равно определителю матрицы:
\[ V_s = \det \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 4 \\ -1 & -2 & -3 \end{bmatrix} \]
или, иначе, посчитаем:
\[ V_s = \vec{AB} \cdot (\vec{AC} \times \vec{AD}) \]
или найдём по формуле определителя.
Шаг 5. Вычислим векторное произведение \(\vec{AC} \times \vec{AD}\):
\[ \vec{AC} \times \vec{AD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 4 & 4 \\ -1 & -2 & -3 \end{vmatrix} \]
Раскроем по первой строке:
\[ = \mathbf{i} \cdot (4 \cdot (-3) - 4 \cdot (-2)) - \mathbf{j} \cdot (2 \cdot (-3) - 4 \cdot (-1)) + \mathbf{k} \cdot (2 \cdot (-2) - 4 \cdot (-1)) \]
Посчитаем каждое:
- для \(\mathbf{i}\):
\[ 4 \cdot (-3) - 4 \cdot (-2) = -12 - (-8) = -12 + 8 = -4 \]
- для \(\mathbf{j}\):
\[ 2 \cdot (-3) - 4 \cdot (-1) = -6 - (-4) = -6 + 4 = -2 \]
- для \(\mathbf{k}\):
\[ 2 \cdot (-2) - 4 \cdot (-1) = -4 - (-4) = -4 + 4 = 0 \]
Итак,
\[ \vec{AC} \times \vec{AD} = (-4, 2, 0) \]
Обратите внимание, что знак относительно \(-\mathbf{j}\) меняется потому, что в формуле не забываем, что минус перед \(\mathbf{j}\):
\[ = (-4, 2, 0) \]
Шаг 6. Теперь найдём скалярное произведение \(\vec{AB} \cdot (\vec{AC} \times \vec{AD})\):
\[ (1, 1, 1) \cdot (-4, 2, 0) = 1 \times (-4) + 1 \times 2 + 1 \times 0 = -4 + 2 + 0 = -2 \]
Модуль этого произведения равен:
\[ |\,-2\,| = 2 \]
Шаг 7. Используем формулу объема:
\[ V = \frac{1}{6} \times |\det| = \frac{1}{6} \times 2 = \frac{1}{3} \]
Ответ:
Объем пирамиды \( ABCD \) равен \( \frac{1}{3} \).
Шаг 8. Умножим полученный результат на 9:
\[ \frac{1}{3} \times 9 = 3 \]
Итоговая ответ:
Объем пирамиды, умноженный на 9, равен \(\boxed{3}\).
