Выберите один ответ: 1) 2) 3) 5)

Давайте разберемся с задачей. Нас просят определить максимальное касательное напряжение (\(\tau_{max}\)) для заданного состояния напряжений. На изображении показан куб, на который действуют напряжения:

• Основное нормальное напряжение \(\sigma\), например, в направлении оси \(z\),
• Также присутствует касательное напряжение \(\tau\) на боковых гранях.

Из условия видно, что на грани куба действует одинаковое касательное напряжение \(\tau\), а на верхней поверхности — нормальное напряжение \(\sigma\). Нас интересует максимально возможное касательное напряжение внутри этого напряженного состояния.

Общий подход:

• Максимальное касательное напряжение в тензоре напряжений определяется по формуле:

\[ \tau_{max} = \sqrt{\left(\frac{\sigma_1 - \sigma_2}{2}\right)^2 + \tau_{12}^2} \]

где \(\sigma_1\), \(\sigma_2\) — главные нормальные напряжения, а \(\tau_{12}\) — касательное напряжение на срезе, в этом случае — \(\tau\).

• В случае, когда в одном направлении действует \(\sigma\), а на других — одинаковое касательное \(\tau\), мы можем прибегнуть к формуле для главных напряжений:

\[ \sigma_{1,2} = \frac{\sigma_x + \sigma_z}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_z}{2}\right)^2 + \tau^2} \]

так как \(\sigma_x\) — напряжение в направлении \(x\), \(\sigma_z\) — в направлении \(z\).

• В данном случае речь идет о равномерно нагруженной кубической системе, где:

\[ \sigma_x = 0, \quad \sigma_z = \sigma, \quad \text{и} \quad \tau = \text{напряжение на боковых гранях} \]

• Максимальное касательное напряжение достигается по формуле:

\[ \tau_{max} = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_z}{2}\right)^2 + \tau^2} \]

или, при некоем упрощении, — в случае если \(\sigma_x = 0\):

\[ \tau_{max} = \sqrt{\left(\frac{0 - \sigma}{2}\right)^2 + \tau^2} = \sqrt{\left(\frac{\sigma}{2}\right)^2 + \tau^2} \]

Поскольку в условии речь идет о выборе одного из вариантов, попробуем внимательно определить, как связаны обозначения в вариантах.

Проверим варианты:

1. \(\tau_{max} = 0,75\sigma\) — то есть максимум касательного напряжения пропорционально нормальному.

2. \(\tau_{max} = 1,25\sigma\) — превышение в 1,25 раза.

3. \(\tau_{max} = 1,12\sigma\) — чуть больше, чем \(\sigma\).

4. \(\tau_{max} = 2,25\sigma\) — довольно большое значение.

5. \(\tau_{max} = \sigma\).

Теперь, исходя из выше изложенного, допустим, что \(\tau\) — это тот касательный компонент, и что \(\sigma\) — это главное нормальное напряжение.

Из формулы из прочих источников по напряженному состоянию, максимальное касательное напряжение в плоскости равно:

\[ \tau_{max} = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_z}{2}\right)^2 + \tau^2} \]

Если в данном случае \(\sigma_x = 0\), \(\sigma_z = \sigma\), и \(\tau\) — касательное напряжение на боковых гранях, то:

\[ \tau_{max} = \sqrt{\left(\frac{\sigma - 0}{2}\right)^2 + \tau^2} = \sqrt{\left(\frac{\sigma}{2}\right)^2 + \tau^2} \]

Варианты предполагают, что \(\tau\) в данном случае равно \(\sigma\) (по крайней мере, для последнего варианта), или же конкретные значения.

При выборе варианта, который наиболее близко соответствует рассуждениям, правильный ответ — вариант 3:

\[ \boxed{\tau_{max} = 1,12\sigma} \]

Это соответствует более точной практической оценке, которая встречается в учебниках по теории сопротивления материалов.

Итог:

Правильный ответ — вариант 3: \(\tau_{max} = 1,12\sigma\).