б) Графиком функции у = 4х - х? является парабола, ветви которой направлены вниз, так как а = -1 < 0. a = -1, b = 4, c = 0. Вершина параболы (Хо; Уо), где =-- b 4 •= - -= 2: 40=4•…
Б) Графиком функции у = 4х - х? является парабола, ветви которой направлены вниз, так как а = -1 < 0. a = -1, b = 4, c = 0. Вершина параболы (Хо; Уо), где =-- b 4 •= - -= 2: 40=4• 2- 22=4. 2a 2・（-1） 60 Значит, координаты вершины (2; 4). Вычислим координаты контрольных точек и занесем их в таблицу. y -1 -5 2 3 4 5 4 3 -5 5 4 2 1 0 2 На рисунке график функции у = 4х - х -1 -2 -3 -4 -5 Свойства функции у = 4x - x': 1) D (y) =[-1; 5]. 2) E (y) = [-5; 4]. 3) Функция возрастает при х є [-1; 2], функция убы-вает при х є [2; 5]. 4) Функция общего вида (ни четная, ни нечетная).
Давайте разберём задание по порядку и подробно объясним каждую часть.
Задание
Рассматривается график функции \( y = 4x - x^2 \). Нам нужно определить основные свойства этой функции и нарисовать её график.
1. Форма графика и направление ветвей параболы
Дано: \( y = 4x - x^2 \).
Это квадратичная функция, её график — парабола.
- Коэффициент при \( x^2 \): \( -1 \) (отрицательный).
- Значит, ветви параболы направлены вниз (ветви вверх направлены при положительном коэффициенте).
Почему именно так?
При квадратичной функции \( y = ax^2 + bx + c \):
- Если \( a > 0 \), ветви направлены вверх.
- Если \( a < 0 \), ветви направлены вниз.
Здесь \( a = -1 < 0 \), значит, ветви параболы направлены вниз.
2. Координаты вершины параболы
Формула вершины параболы \( y = ax^2 + bx + c \): \[ x_0 = -\frac{b}{2a} \] \[ y_0 = c - \frac{b^2}{4a} \]
В нашей функции:
- \( a = -1 \)
- \( b = 4 \)
- \( c = 0 \)
Найдём координаты вершины:
\[ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \times (-1)} = -\frac{4}{-2} = 2 \]
Подставим \( x_0 = 2 \) в уравнение для \( y \):
\[ y_0 = 4 \times 2 - (2)^2 = 8 - 4 = 4 \]
Координаты вершины: \((2, 4)\).
Это — самая высокая точка графика, так как ветви направлены вниз.
Проверка вычислений по формуле из задания
В задании есть другой способ найти вершину:
\[ x_0 = -\frac{b}{2a} = 2 \]
\[ y_0 = c - \frac{b^2}{4a} = 0 - \frac{(4)^2}{4 \times (-1)} = 0 - \frac{16}{-4} = 0 + 4 = 4 \]
Всё совпадает.
3. Таблица контрольных точек
Чтобы построить график, выберем несколько значений \( x \) и найдём соответствующие \( y \):
| \( x \) | \( y = 4x - x^2 \) |
|---|---|
| -1 | \( 4 \times (-1) - (-1)^2 = -4 - 1 = -5 \) |
| 0 | \( 0 - 0 = 0 \) |
| 1 | \( 4 - 1 = 3 \) |
| 2 | \( 8 - 4 = 4 \) (вершина) |
| 3 | \( 12 - 9 = 3 \) |
| 4 | \( 16 - 16 = 0 \) |
| 5 | \( 20 - 25 = -5 \) |
Эти точки помогут нарисовать график.
4. Свойства функции
Область определений (D): \(\mathbb{R}\) (все числа)
Область значений (E): от минимуму до вершины \(\to y \in [-1; 5]\).
Однако, в данном случае — максимум в вершине \( y_0=4 \). Посмотрим по таблице и графику, значения колеблются в диапазоне \([-5; 4]\).Ваша правильная формулировка:
\[ D(y) = [-5; 4] \]
Функция возрастает: на интервале \( x \in [-1;2] \), так как до вершины значение \( y \) растёт.
Функция убывает: на интервале \( x \in [2;5] \), после вершины она убывает.
5. График и свойства:
- Вершина в точке \((2; 4)\).
- Ветви графика направлены вниз.
- Проходим по графику по выбранным точкам.
Итог
- График функции \( y = 4x - x^2 \) — парабола, ветви которой направлены вниз.
- Вершина в точке \((2; 4)\).
- Значения \( y \) варьируются в диапазоне \([-5, 4]\).
- График симметричен относительно вертикальной оси, проходящей через вершину, так как это квадратичная парабола.
Если нужно нарисовать график, начертите параболу, отметьте вершину \((2,4)\), пройдите через точки: \((-1, -5), (0, 0), (1, 3), (2, 4), (3, 3), (4, 0), (5, -5)\).
Если нужен более конкретный график или дополнительные свойства, я с радостью помогу!
