Давайте разберем задачу по шагам.
Задача:
[ \lim_{x \to 54} \frac{x + 5}{x^2 - 25} ]
Шаг 1. Обратить внимание на выражение внутри предела:
В числителе: ( x + 5 )
В знаменателе: ( x^2 - 25 )
Шаг 2. Заметим, что ( x^2 - 25 ) — это разность квадратов и можно факторизовать:
[ x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5) ]
Теперь наш предел принимает вид:
[ \lim_{x \to 54} \frac{x + 5}{(x - 5)(x + 5)} ]
Шаг 3. Упростим выражение:
Числитель и часть знаменателя ( x + 5 ) сокращаются, если ( x + 5 \neq 0 ), то есть, при ( x \neq -5 ).
Но поскольку мы ищем предел при ( x \to 54 ), а это далеко от (-5), можно спокойно упростить:
[ \frac{x + 5}{(x - 5)(x + 5)} = \frac{1}{x - 5} ]
Шаг 4. Теперь предельное значение упростилось до:
[ \lim_{x \to 54} \frac{1}{x - 5} ]
Подставим ( x = 54 ):
[ \frac{1}{54 - 5} = \frac{1}{49} ]
Ответ:
[ \boxed{\frac{1}{49}} ]
Если что-то осталось непонятным, могу объяснить еще более подробно!
