5. Найдите производную функции: f (x) = 3x2 - 2х3 + 6; 6. Найдите все первообразные функции: f (x) = 5х* - Vx* 7. В магазине канцтоваров проходит распродажа. Ирина купила блокнот…

Давайте решим каждую задачу по порядку и подробно объясним решения.

Задача 5. Найдите производную функции:

\[f(x) = 3x^2 - 2x^3 + 6\]

Пояснение:
Чтобы найти производную функции, применяем правила дифференцирования для каждого члена.

Шаги решения:

1. Производная от \(3x^2\):
   \(\frac{d}{dx}(3x^2) = 3 \times 2x^{2-1} = 6x\)

2. Производная от \(-2x^3\):
   \(\frac{d}{dx}(-2x^3) = -2 \times 3x^{3-1} = -6x^2\)

3. Производная от константы 6:
   \(\frac{d}{dx}(6) = 0\)

Ответ:
\[ f'(x) = 6x - 6x^2 \]

Задача 6. Найдите все первообразные функции для:

\[f(x) = 5x - \sqrt{x}\]

Пояснение:
Ищем функцию \(F(x)\), такую что \(F'(x) = f(x)\).
Это интегрирование:
\[ F(x) = \int f(x) dx \]

Разделим задачу:
\[ F(x) = \int (5x - x^{1/2}) dx \]

Шаги решения:

1. Интегрируем \(5x\):
   \[ \int 5x dx = 5 \times \frac{x^2}{2} = \frac{5}{2}x^2 \]

2. Интегрируем \(-x^{1/2}\):
   \[ \int -x^{1/2} dx = - \int x^{1/2} dx \]

Используем формулу:
\[ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \]

где \(n = \frac{1}{2}\):
\[ \int x^{1/2} dx = \frac{x^{1/2 + 1}}{1/2 + 1} = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3} x^{3/2} \]

Итак:
\[ \int -x^{1/2} dx = - \frac{2}{3} x^{3/2} \]

Общий ответ:
\[ F(x) = \frac{5}{2} x^2 - \frac{2}{3} x^{3/2} + C \]

где \(C\) — произвольная константа.

Задача 7. В магазине купили блокнот за 170 рублей, хотя до распродажи он стоил 250 рублей. Определите процент скидки.

Пояснение:
Процент скидки — это сколько процентов от первоначальной цены было сэкономлено.

Формула:
\[ \text{Процент скидки} = \frac{\text{Разница в цене}}{\начальная цена} \times 100\% \]

Шаги решения:

1. Разница в цене:
   \[ 250 - 170 = 80 \text{ рублей} \]

2. Вычисляем процент:
   \[ \frac{80}{250} \times 100\% = 0,32 \times 100\% = 32\% \]

Ответ:
Процент скидки — 32%

Если нужно, могу пояснить подробно любое из решений или помочь с другой задачей!