Давайте решим каждую задачу по порядку и подробно объясним решения.
Задача 5. Найдите производную функции:
[f(x) = 3x^2 - 2x^3 + 6]
Пояснение:
Чтобы найти производную функции, применяем правила дифференцирования для каждого члена.
Шаги решения:
Производная от (3x^2):
(\frac{d}{dx}(3x^2) = 3 \times 2x^{2-1} = 6x)
Производная от (-2x^3):
(\frac{d}{dx}(-2x^3) = -2 \times 3x^{3-1} = -6x^2)
Производная от константы 6:
(\frac{d}{dx}(6) = 0)
Ответ:
[
f'(x) = 6x - 6x^2
]
Задача 6. Найдите все первообразные функции для:
[f(x) = 5x - \sqrt{x}]
Пояснение:
Ищем функцию (F(x)), такую что (F'(x) = f(x)).
Это интегрирование:
[
F(x) = \int f(x) dx
]
Разделим задачу:
[
F(x) = \int (5x - x^{1/2}) dx
]
Шаги решения:
Интегрируем (5x):
[
\int 5x dx = 5 \times \frac{x^2}{2} = \frac{5}{2}x^2
]
Интегрируем (-x^{1/2}):
[
\int -x^{1/2} dx = - \int x^{1/2} dx
]
Используем формулу:
[
\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C
]
где (n = \frac{1}{2}):
[
\int x^{1/2} dx = \frac{x^{1/2 + 1}}{1/2 + 1} = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3} x^{3/2}
]
Итак:
[
\int -x^{1/2} dx = - \frac{2}{3} x^{3/2}
]
Общий ответ:
[
F(x) = \frac{5}{2} x^2 - \frac{2}{3} x^{3/2} + C
]
где (C) — произвольная константа.
Задача 7. В магазине купили блокнот за 170 рублей, хотя до распродажи он стоил 250 рублей. Определите процент скидки.
Пояснение:
Процент скидки — это сколько процентов от первоначальной цены было сэкономлено.
Формула:
[
\text{Процент скидки} = \frac{\text{Разница в цене}}{\начальная цена} \times 100%
]
Шаги решения:
Разница в цене:
[
250 - 170 = 80 \text{ рублей}
]
Вычисляем процент:
[
\frac{80}{250} \times 100% = 0,32 \times 100% = 32%
]
Ответ:
Процент скидки — 32%
Если нужно, могу пояснить подробно любое из решений или помочь с другой задачей!
