составить закон распределения случайной величины Х- числа попаданий в мишель при трех выстрелах, если вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 2/3. найти…

Конечно! Рассмотрим задачу пошагово.

---

Задача:

Нам дана случайная величина \(X\) — число попаданий в мишень при трёх выстрелах, при этом вероятность попадания при одном выстреле равна \(p = \frac{2}{3}\). Нужно составить закон распределения \(X\), найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

---

Шаг 1: Определение вида распределения

Поскольку:

• есть фиксированное число испытаний (3 выстрела),
• каждое испытание — независимое,
• вероятность попадания в мишень при каждом выстреле — одинаковая (\(p\)),
• исход — успех или неудача,

Это классическая задача по распределению биномиальной случайной величины.

Закон:
\[ X \sim \text{Биномиальное}(n=3, p=\frac{2}{3}) \]

---

Шаг 2: Закон распределения

Для биномиальной случайной величины \(X\), которая принимает значения \(x=0,1,2,3\):

\[ P(X=x) = {n \choose x} p^x (1-p)^{n - x} \]

Подставим значения:

\[ P(X=x) = {3 \choose x} \left(\frac{2}{3}\right)^x \left(\frac{1}{3}\right)^{3-x} \]

Рассчитаем по каждому возможному \(x\):

---

Для \(x=0\):

\[ P(0) = {3 \choose 0} \left(\frac{2}{3}\right)^0 \left(\frac{1}{3}\right)^3 = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{27} = \frac{1}{27} \]

Для \(x=1\):

\[ P(1) = {3 \choose 1} \left(\frac{2}{3}\right)^1 \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 3 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{9} = 3 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{9} = 2 \cdot \frac{1}{9} = \frac{2}{9} \]

Для \(x=2\):

\[ P(2) = {3 \choose 2} \left(\frac{2}{3}\right)^2 \left(\frac{1}{3}\right)^1 = 3 \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{3} = 3 \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{3} = 3 \cdot \frac{4}{27} = \frac{12}{27} = \frac{4}{9} \]

Для \(x=3\):

\[ P(3) = {3 \choose 3} \left(\frac{2}{3}\right)^3 \left(\frac{1}{3}\right)^0 = 1 \cdot \frac{8}{27} \cdot 1 = \frac{8}{27} \]

---

Итоговая таблица вероятностей:

\(x\)	\(P(X=x)\)	вычисление
0	\(\frac{1}{27}\)	\({3 \choose 0} \cdots = \frac{1}{27}\)
1	\(\frac{2}{9} = \frac{6}{27}\)	\({3 \choose 1} \cdots = \frac{6}{27}\)
2	\(\frac{4}{9} = \frac{12}{27}\)	\({3 \choose 2} \cdots \)
3	\(\frac{8}{27}\)	\({3 \choose 3} \cdots = \frac{8}{27}\)

Проверка: сумма вероятностей равна 1:

\[ \frac{1}{27} + \frac{6}{27} + \frac{12}{27} + \frac{8}{27} = \frac{1+6+12+8}{27} = \frac{27}{27} = 1 \]

Все верно.

---

Шаг 3: Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение

Математическое ожидание (\(E[X]\)):

Для биномиального распределения:

\[ E[X] = n p = 3 \times \frac{2}{3} = 2 \]

Дисперсия (\(D[X]\)):

\[ D[X] = n p (1 - p) = 3 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = 3 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = 2 \times \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \]

Среднее квадратическое отклонение (\(\sigma\)):

\[ \sigma = \sqrt{D[X]} = \sqrt{\frac{2}{3}} \approx 0,8165 \]

---

Итог:

Показатель	Значение
Закон распределения \(P(X=x)\)	\(P(0)=\frac{1}{27}\), \(P(1)=\frac{6}{27}\), \(P(2)=\frac{12}{27}\), \(P(3)=\frac{8}{27}\)
Математическое ожидание \(E[X]\)	2
Дисперсия \(D[X]\)	\(\frac{2}{3} \approx 0,6667\)
Среднее квадратическое отклонение \(\sigma\)	\(\sqrt{\frac{2}{3}} \approx 0,8165\)

Если потребуется более подробное объяснение или расчет, пожалуйста, скажите!