Составить закон распределения случайной величины Х- числа попаданий в мишель при трех выстрелах, если вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 2/3. найти математическое охлаждение, дисперсию и среднее квадратическое отклонениек.

Конечно! Рассмотрим задачу пошагово. --- ## Задача: Нам дана случайная величина \(X\) — число попаданий в мишень при трёх выстрелах, при этом вероятность попадания при одном выстреле равна \(p = \frac{2}{3}\). Нужно составить закон распределения \(X\), найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. --- ## Шаг 1: Определение вида распределения Поскольку: - есть фиксированное число испытаний (3 выстрела), - каждое испытание — независимое, - вероятность попадания в мишень при каждом выстреле — одинаковая (\(p\)), - исход — успех или неудача, Это классическая задача по распределению **биномиальной** случайной величины. Закон: \[ X \sim \text{Биномиальное}(n=3, p=\frac{2}{3}) \] --- ## Шаг 2: Закон распределения Для биномиальной случайной величины \(X\), которая принимает значения \(x=0,1,2,3\): \[ P(X=x) = {n \choose x} p^x (1-p)^{n - x} \] Подставим значения: \[ P(X=x) = {3 \choose x} \left(\frac{2}{3}\right)^x \left(\frac{1}{3}\right)^{3-x} \] Рассчитаем по каждому возможному \(x\): --- ### Для \(x=0\): \[ P(0) = {3 \choose 0} \left(\frac{2}{3}\right)^0 \left(\frac{1}{3}\right)^3 = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{27} = \frac{1}{27} \] ### Для \(x=1\): \[ P(1) = {3 \choose 1} \left(\frac{2}{3}\right)^1 \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 3 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{9} = 3 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{9} = 2 \cdot \frac{1}{9} = \frac{2}{9} \] ### Для \(x=2\): \[ P(2) = {3 \choose 2} \left(\frac{2}{3}\right)^2 \left(\frac{1}{3}\right)^1 = 3 \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{3} = 3 \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{3} = 3 \cdot \frac{4}{27} = \frac{12}{27} = \frac{4}{9} \] ### Для \(x=3\): \[ P(3) = {3 \choose 3} \left(\frac{2}{3}\right)^3 \left(\frac{1}{3}\right)^0 = 1 \cdot \frac{8}{27} \cdot 1 = \frac{8}{27} \] --- ## Итоговая таблица вероятностей: | \(x\) | \(P(X=x)\) | вычисление | |-------|------------|--------------------------------------------------------| | 0 | \(\frac{1}{27}\) | \({3 \choose 0} \cdots = \frac{1}{27}\) | | 1 | \(\frac{2}{9} = \frac{6}{27}\) | \({3 \choose 1} \cdots = \frac{6}{27}\) | | 2 | \(\frac{4}{9} = \frac{12}{27}\) | \({3 \choose 2} \cdots \) | | 3 | \(\frac{8}{27}\) | \({3 \choose 3} \cdots = \frac{8}{27}\) | Проверка: сумма вероятностей равна 1: \[ \frac{1}{27} + \frac{6}{27} + \frac{12}{27} + \frac{8}{27} = \frac{1+6+12+8}{27} = \frac{27}{27} = 1 \] Все верно. --- ## Шаг 3: Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение ### Математическое ожидание (\(E[X]\)): Для биномиального распределения: \[ E[X] = n p = 3 \times \frac{2}{3} = 2 \] ### Дисперсия (\(D[X]\)): \[ D[X] = n p (1 - p) = 3 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = 3 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = 2 \times \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \] ### Среднее квадратическое отклонение (\(\sigma\)): \[ \sigma = \sqrt{D[X]} = \sqrt{\frac{2}{3}} \approx 0,8165 \] --- ## Итог: | Показатель | Значение | |------------------------------|--------------------------------------------------------| | Закон распределения \(P(X=x)\) | \(P(0)=\frac{1}{27}\), \(P(1)=\frac{6}{27}\), \(P(2)=\frac{12}{27}\), \(P(3)=\frac{8}{27}\) | | Математическое ожидание \(E[X]\) | 2 | | Дисперсия \(D[X]\) | \(\frac{2}{3} \approx 0,6667\) | | Среднее квадратическое отклонение \(\sigma\)| \(\sqrt{\frac{2}{3}} \approx 0,8165\) | Если потребуется более подробное объяснение или расчет, пожалуйста, скажите!