В треугольнике abc угол c равен 90°, ac=40, tgA=21/20. найдите AB

Давайте подробно решим задачу.

Дано:

• В треугольнике \( ABC \):
  • угол \( C = 90^\circ \)
  • сторона \( AC = 40 \)
  • \( \tg A = \frac{21}{20} \)

Нужно найти длину стороны \( AB \).

Шаг 1: Обозначения и свойства треугольника

Обозначения:

• \( AB \) — гипотенуза (так как угол \( C = 90^\circ \))
• \( AC \) — катет, прилежащий к углу \( A \)
• \( BC \) — другой катет

Известные:

• \( AC = 40 \)

Поскольку \( C = 90^\circ \), по теореме Пифагора: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \] то есть \[ AB^2 = 40^2 + BC^2 \]

Шаг 2: Используем \( \tg A \)

Тангенс угла \( A \): \[ \tg A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{BC}{AC} \]

Дано: \[ \tg A = \frac{21}{20} \] и \[ AC = 40 \]

Значит: \[ BC = AC \times \tg A = 40 \times \frac{21}{20} = 40 \times 1.05 = 42 \]

Шаг 3: Находим гипотенузу \( AB \)

Теперь, по теореме Пифагора: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 = 40^2 + 42^2 = 1600 + 1764 = 3364 \]

Тогда: \[ AB = \sqrt{3364} \]

Рассчитаем: \[ \sqrt{3364} = 58 \]

Итог:

\[ \boxed{ AB = 58 } \]

Ответ: Длина стороны \( AB \) равна 58.