Давайте решим задачу пошагово и подробно объясним каждый этап.
Задача:
Определить длину электромагнитной волны в воздухе, излучаемых колебательным контуром с данными параметрами:
- Емкость ( C = 3, \text{нФ} = 3 \times 10^{-9}, \text{Ф} )
- Индуктивность ( L = 12, \text{мГн} = 12 \times 10^{-3}, \text{Гн} )
- Сопротивление ( R = 0 ) (активное сопротивление равно нулю)
Шаг 1: Найти резонансную частоту колебаний
Для идеального колебательного контура (без потерь), резонансная частота ( f_0 ) задается формулой:
[
f_0 = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}
]
где
- ( L ) — индуктивность,
- ( C ) — емкость.
Подставим значения:
[
f_0 = \frac{1}{2 \pi \sqrt{(12 \times 10^{-3})(3 \times 10^{-9})}}
]
Рассчитаем подкоренное выражение:
[
L \times C = 12 \times 10^{-3} \times 3 \times 10^{-9} = 36 \times 10^{-12} = 3.6 \times 10^{-11}
]
Теперь извлечем квадратный корень:
[
\sqrt{3.6 \times 10^{-11}} = \sqrt{3.6} \times 10^{-5.5}
]
Числовое значение:
[
\sqrt{3.6} \approx 1.897
]
Далее, поскольку ( 10^{-5.5} = 10^{-5} \times 10^{-0.5} \approx 10^{-5} \times 0.3162 ), получается:
[
\sqrt{L C} \approx 1.897 \times 0.3162 \times 10^{-5} \approx 0.599 \times 10^{-5} = 5.99 \times 10^{-6}
]
Теперь считаем частоту:
[
f_0 = \frac{1}{2 \pi \times 5.99 \times 10^{-6}} \approx \frac{1}{37.6 \times 10^{-6}} = \frac{1}{3.76 \times 10^{-5}}
]
[
f_0 \approx 2.66 \times 10^{4} \text{ Гц}
]
Шаг 2: Определение длины электромагнитной волны
Длина волны ( \lambda ) связана с частотой ( f ) скоростью распространения волн ( c ) через формулу:
[
\lambda = \frac{c}{f}
]
В воздухе скорость света приблизительно равна:
[
c \approx 3 \times 10^{8}\ \text{м/с}
]
Подставляем значения:
[
\lambda = \frac{3 \times 10^{8}}{2.66 \times 10^{4}} \approx 1.128 \times 10^{4}\ \text{м}
]
или примерно 11,280 метров.
Ответ:
Длина электромагнитной волны, излучаемой колебательным контуром при данных параметрах, составляет примерно 11,280 метров.
Если нужны дополнительные пояснения или есть вопросы — обращайтесь!
