Найдите предел limn→∞(9n2+16n−14−−−−−−−−−−−−√3−9n2−15n−2−−−−−−−−−−−√3)n−−√3 lim 𝑛 → ∞ 9 𝑛 2 + 16 𝑛 - 14 3 - 9 𝑛 2 - 15 𝑛 - 2 3 𝑛 3 .

Давайте внимательно разберем задачу и найдем предел выражения: \[ \lim_{n \to \infty} \left( \sqrt[3]{9n^2 + 16n - 14} - \sqrt[3]{9n^2 + 15n - 2} \right) \cdot n \] *** ### Шаг 1. Анализ выражения Нам нужно упростить выражение внутри предела при \( n \to \infty \). Обратите внимание, что оба корня имеют в рамане выражения вида \( 9n^2 + \text{члены меньшей степени} \). Поэтому каждый корень можно аппроксимировать как: \[ \sqrt[3]{9n^2 + \text{меньшие члены}} \] но поскольку корень кубический, лучше использовать приближение для разности двух корней при больших \( n \). *** ### Шаг 2. Аппроксимация для разности кубических корней Общая формула для разности двух кубических корней, если внутри есть выражения, сходящиеся по форме: \[ \sqrt[3]{A} - \sqrt[3]{B} \approx \frac{A - B}{\sqrt[3]{A^2} + \sqrt[3]{AB} + \sqrt[3]{B^2}} \] при большом \( n \). Применим это правило к нашим выражениям: \[ A = 9n^2 + 16n - 14, \quad B = 9n^2 + 15n - 2 \] Тогда: \[ \sqrt[3]{A} - \sqrt[3]{B} \approx \frac{A - B}{\sqrt[3]{A^2} + \sqrt[3]{AB} + \sqrt[3]{B^2}} \] *** ### Шаг 3. Найдем \( A - B \) \[ A - B = (9n^2 + 16n - 14) - (9n^2 + 15n - 2) = (9n^2 - 9n^2) + (16n - 15n) + (-14 + 2) = n - 12 \] *** ### Шаг 4. Аппроксимация знаменателя Для больших \( n \), \( A \) и \( B \) ведут себя как \( 9n^2 \). Тогда их кубические корни приблизительно равны \( \sqrt[3]{9n^2} = \sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[3]{n^2} = \sqrt[3]{9} \cdot n^{2/3} \). Но чтобы учесть меньшие члены, лучше выразить каждую из частей через \( n^{2/3} \) и найти асимптотики. Значит: \[ \sqrt[3]{A} \approx \sqrt[3]{9n^2} = (\sqrt[3]{9}) \cdot n^{2/3} \] \[ \sqrt[3]{B} \approx (\sqrt[3]{9}) \cdot n^{2/3} \] Для более точной оценки — нужно учесть дополнительные члены: \[ \sqrt[3]{A} \approx (\sqrt[3]{9n^2}) \left( 1 + \frac{16n - 14}{9n^2} \right)^{1/3} \] Аналогично для \( B \). Но для больших \( n \) разница в знаменателе будет доминироваться \( n^{2/3} \). ### Шаг 5. Упростим выражение для предела Используем аппроксимацию: \[ \sqrt[3]{A} - \sqrt[3]{B} \approx \frac{A - B}{3 (\sqrt[3]{A^2} + \sqrt[3]{AB} + \sqrt[3]{B^2})} \] И при больших \( n \): \[ \sqrt[3]{A} \sim \sqrt[3]{9} \cdot n^{2/3} \] \[ A \sim 9 n^2 \] поэтому: \[ \sqrt[3]{A^2} \sim (\sqrt[3]{9} \cdot n^{2/3})^2 = (\sqrt[3]{9})^2 \cdot n^{4/3} \] Аналогично остальные. Следовательно, знаменатель: \[ 3 (\sqrt[3]{A^2} + \sqrt[3]{AB} + \sqrt[3]{B^2}) \sim 3 \times 3 (\sqrt[3]{9})^2 \cdot n^{4/3} = 9 (\sqrt[3]{9})^2 \cdot n^{4/3} \] И, наконец, разность: \[ A - B = n - 12 \sim n \] Итак, \[ \sqrt[3]{A} - \sqrt[3]{B} \approx \frac{n}{9 (\sqrt[3]{9})^2 \cdot n^{4/3}} = \frac{1}{9 (\sqrt[3]{9})^2} \cdot n^{1 - 4/3} = \frac{1}{9 (\sqrt[3]{9})^2} \cdot n^{-1/3} \] ### Шаг 6. Умножение на \( n \) Поскольку в пределе умножается на \( n \): \[ \left( \sqrt[3]{A} - \sqrt[3]{B} \right) \cdot n \sim \frac{1}{9 (\sqrt[3]{9})^2} \cdot n^{-1/3} \cdot n = \frac{1}{9 (\sqrt[3]{9})^2} \cdot n^{2/3} \] При \( n \to \infty \), \( n^{2/3} \to \infty \). Следовательно: \[ \boxed{ \lim_{n \to \infty} \left( \sqrt[3]{9n^2 + 16n - 14} - \sqrt[3]{9n^2 + 15n - 2} \right) \cdot n = +\infty } \] **Ответ:** предел равен бесконечности. --- Если нужны более точные выводы или объяснения — обращайтесь!