Реши

Дано уравнение:
\[ \operatorname{ctg} \left(\frac{\pi (x-1)}{6}\right) = \sqrt{3} \]

Задача — найти наибольший отрицательный корень этого уравнения.

Шаг 1: Запишем уравнение в привычной форме

Поскольку \(\operatorname{ctg} \theta = \sqrt{3}\), то по свойствам тригонометрических функций: \[ \operatorname{ctg} \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \sqrt{3} \] Это равенство выполняется, когда: \[ \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \sqrt{3} \] или \[ \cos \theta = \sqrt{3} \sin \theta \]

Шаг 2: Решим это уравнение относительно \(\theta\)

Делим обе части на \(\sin \theta\), при условии, что \(\sin \theta \neq 0\): \[ \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \sqrt{3} \] \[ \cot \theta = \sqrt{3} \]

Значения \(\cot \theta = \sqrt{3}\) соответствуют углам: \[ \theta = \arccot (\sqrt{3}) \]

Известны основные значения: \[ \cot \theta = \sqrt{3} \implies \theta = \frac{\pi}{6} + k \pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Шаг 3: Подставим обратно в исходное уравнение

\[ \frac{\pi (x-1)}{6} = \frac{\pi}{6} + k \pi \] или \[ \frac{\pi (x-1)}{6} = \frac{\pi}{6} + k \pi \] Это уравнение для \(x\).

Шаг 4: Решим относительно \(x\)

Перепишем уравнение: \[ \frac{\pi (x-1)}{6} = \frac{\pi}{6} + k \pi \] умножим обе части на 6: \[ \pi (x - 1) = \pi + 6k \pi \] разделим обе части на \(\pi\): \[ x - 1 = 1 + 6k \] \[ x = 2 + 6k \]

Шаг 5: Найдём наибольший отрицательный корень

Корни имеют вид: \[ x = 2 + 6k \] Чтобы найти отрицательные корни, нужно: \[ 2 + 6k < 0 \] \[ 6k < -2 \] \[ k < -\frac{1}{3} \] Тогда \(k\) — целое число, меньшие \(-\frac{1}{3}\), то есть:

\[ k \leq -1 \]

Для \(k = -1\): \[ x = 2 + 6(-1) = 2 - 6 = -4 \]

Для \(k = -2\): \[ x = 2 + 6(-2) = 2 - 12 = -10 \]

И так далее. Наибольший отрицательный корень — это при \(k = -1\):

\[ \boxed{-4} \]

Итог:

Ответ: \(\boxed{-4}\) — наибольший отрицательный корень уравнения.