Реши

Давайте подробно решим эту задачу шаг за шагом. **Задача:** Из пункта A выехал велосипедист. Через 40 минут он еще не вернулся в пункт A, и из пункта A следом за ним отправился мотоциклист. Мотоциклист догнал велосипедиста в первый раз через 10 минут после отправления, а во второй — через 40 минут после этого. Длина маршрута равна 60 км. Нужно найти скорость мотоциклиста в км/ч. --- ### Шаг 1. Запишем исходные данные: - Длина маршрута: \( S = 60 \text{ км} \) - Время, через которое мотоциклист догнал велосипедиста в первый раз после начала: \( t_1 = 10 \text{ мин} \) - Время, через которое мотоциклист догнал велосипедиста во второй раз после первого: \( t_2 = 40 \text{ мин} \) Общее время от начала отправления до второго догоня: \( T_{\text{общий}} = t_1 + t_2 = 10 + 40 = 50 \text{ мин} \). --- ### Шаг 2. Обозначим скорости: - скорость велосипедиста: \( v_{вело} \) (км/ч) - скорость мотоциклиста: \( v_{мото} \) (км/ч) Также важно помнить: - Время в минутах нужно перевести в часы, чтобы работать со скоростями в км/ч: \[ t_{мин} \to t_{ч}:\quad t_{ч} = \frac{t_{мин}}{60} \] ### Шаг 3. Определим путь велосипедиста за время до их первого встречи: Поскольку мотоциклист догнал велосипедиста через 10 минут после отправления, за это время велосипедист проедет: \[ t_{1} = \frac{10}{60} = \frac{1}{6} \text{ часа} \] Путь велосипедиста: \[ \text{Путь велосипедиста до первого догоня} = v_{вело} \times \frac{1}{6} \] --- ### Шаг 4. Анализ второго догоня после 50 минут: Через 50 минут после начала велосипедист продолжает движение, но он уже догнан и затем догоняет снова. Общее время после начала: 50 минут \(\Rightarrow\) \(\frac{50}{60} = \frac{5}{6}\) часа. Путь велосипедиста за всё время: \[ v_{вело} \times \frac{5}{6} \] Общий путь мотоциклиста за 50 минут: Он стартовал позже — через 40 минут после первого — то есть, мотоциклист начал движение в момент, когда велосипедист уже проехал: - Велосипедист за 40 минут (до второго второго догоня): \[ v_{вело} \times \frac{40}{60} = v_{вело} \times \frac{2}{3} \] - За оставшееся время: 10 мин (после второго догоня до конца общего времени в 50 мин): \[ v_{мото} \times \frac{10}{60} = v_{мото} \times \frac{1}{6} \] Но более правильный подход — работать по расстоянию и скорости. ### Шаг 5. Использование правил встречи: Когда мотоциклист догнал велосипедиста в первый раз через 10 минут, расстояние, которое прошли оба, должно совпадать, поскольку они стартовали из разных точек, но находятся на той же линии. Образуется уравнение: Мотоциклист за 10 минут догнал велосипедиста, который за это время прошел определённое расстояние. Далее, в течение этого времени, оба движутся: - Велосипедист — со скоростью \( v_{вело} \) - Мотоциклист — со скоростью \( v_{мото} \) Мотоциклист, стартуя после 40 минут, догоняет велосипедиста уже во второй раз после 40 минут. --- ### Шаг 6. Итоговое решение — уравнения **Первая встреча:** Мотоциклист и велосипедист стартовали в разные моменты, но за это время мотоциклист догнал велосипедиста. Обозначим: - Начальное расстояние между стартами в момент, когда мотоциклист начал движение: велосипед уже проехал \( v_{вело} \times \frac{40}{60} \). За 10 минут после запуска мотоциклист догоняет велосипедиста: \[ v_{мото} \times \frac{10}{60} = \text{расстояние, пройденное мотоциклистом} \\ v_{вело} \times \frac{10}{60} \text{ — расстояние велосипедиста за это время} \] Мотоциклист догнал велосипедиста, т.е.: \[ v_{мото} \times \frac{10}{60} = v_{вело} \times \frac{10}{60} + (\text{начальная разница в расстояниях}) \] Но начальная разница — это расстояние, которое велосипедист прошел за 40 минут, пока мотоциклист не начал движение: \[ v_{вело} \times \frac{40}{60} = v_{вело} \times \frac{2}{3} \] что равно расстоянию, которое уже было пройдено велосипедистом в момент запуска мотоциклиста. **Общее уравнение (для первой встречи):** \[ v_{мото} \times \frac{10}{60} = v_{вело} \times \frac{10}{60} + v_{вело} \times \frac{2}{3} \] Перепишем: \[ v_{мото} \times \frac{1}{6} = v_{вело} \times \frac{1}{6} + v_{вело} \times \frac{2}{3} \] Приведем к общему знаменателю: \[ v_{мото} \times \frac{1}{6} = v_{вело} \times \left(\frac{1}{6} + \frac{2}{3}\right) = v_{вело} \times \left(\frac{1}{6} + \frac{4}{6}\right) = v_{вело} \times \frac{5}{6} \] Отсюда: \[ v_{мото} = v_{вело} \times \frac{5}{6} \times 6 = v_{вело} \times 5 \] То есть: \[ v_{мото} = 5 v_{вело} \] --- ### Шаг 7. Используем вторую встречу (через 40 минут после первого): Далее, расстояние между мотоциклом и велосипедистом во второй раз после первого — снова равно длине маршрута, то есть 60 км (в случае полного круга). Мотоциклист догоняет велосипедиста вторично через 40 минут после первой догоняния, т.е. через ещё 40 минут. Общая длина поездки: - Мотоциклист за 50 минут до второго догоня (весь промежуток от начала до второго догоня): \[ v_{мото} \times \frac{50}{60} = v_{мото} \times \frac{5}{6} \] - Велосипедист за тот же промежуток: \[ v_{вело} \times \frac{5}{6} \] Но поскольку они снова догоняются после полного пробега маршрута, \(S = 60\) км, то скорости связаны: \[ v_{мото} \times \frac{50}{60} - v_{вело} \times \frac{50}{60} = 60 \] или \[ (v_{мото} - v_{вело}) \times \frac{5}{6} = 60 \] подставляем \( v_{мото} = 5 v_{вело} \): \[ (5 v_{вело} - v_{вело}) \times \frac{5}{6} = 60 \] \[ 4 v_{вело} \times \frac{5}{6} = 60 \] \[ \frac{20}{6} v_{вело} = 60 \] \[ \frac{10}{3} v_{вело} = 60 \] \[ v_{вело} = 60 \times \frac{3}{10} = 18 \text{ км/ч} \] Теперь находим \(v_{мото}\): \[ v_{мото} = 5 \times v_{вело} = 5 \times 18 = 90 \text{ км/ч} \] --- ### **Ответ:** **С