Реши
Давайте подробно решим эту задачу шаг за шагом.
Задача: Из пункта A выехал велосипедист. Через 40 минут он еще не вернулся в пункт A, и из пункта A следом за ним отправился мотоциклист. Мотоциклист догнал велосипедиста в первый раз через 10 минут после отправления, а во второй — через 40 минут после этого. Длина маршрута равна 60 км. Нужно найти скорость мотоциклиста в км/ч.
Шаг 1. Запишем исходные данные:
- Длина маршрута: \( S = 60 \text{ км} \)
- Время, через которое мотоциклист догнал велосипедиста в первый раз после начала: \( t_1 = 10 \text{ мин} \)
- Время, через которое мотоциклист догнал велосипедиста во второй раз после первого: \( t_2 = 40 \text{ мин} \)
Общее время от начала отправления до второго догоня: \( T_{\text{общий}} = t_1 + t_2 = 10 + 40 = 50 \text{ мин} \).
Шаг 2. Обозначим скорости:
- скорость велосипедиста: \( v_{вело} \) (км/ч)
- скорость мотоциклиста: \( v_{мото} \) (км/ч)
Также важно помнить:
- Время в минутах нужно перевести в часы, чтобы работать со скоростями в км/ч: \[ t_{мин} \to t_{ч}:\quad t_{ч} = \frac{t_{мин}}{60} \]
Шаг 3. Определим путь велосипедиста за время до их первого встречи:
Поскольку мотоциклист догнал велосипедиста через 10 минут после отправления, за это время велосипедист проедет: \[ t_{1} = \frac{10}{60} = \frac{1}{6} \text{ часа} \] Путь велосипедиста: \[ \text{Путь велосипедиста до первого догоня} = v_{вело} \times \frac{1}{6} \]
Шаг 4. Анализ второго догоня после 50 минут:
Через 50 минут после начала велосипедист продолжает движение, но он уже догнан и затем догоняет снова.
Общее время после начала: 50 минут \(\Rightarrow\) \(\frac{50}{60} = \frac{5}{6}\) часа.
Путь велосипедиста за всё время: \[ v_{вело} \times \frac{5}{6} \]
Общий путь мотоциклиста за 50 минут:
Он стартовал позже — через 40 минут после первого — то есть, мотоциклист начал движение в момент, когда велосипедист уже проехал:
Велосипедист за 40 минут (до второго второго догоня): \[ v_{вело} \times \frac{40}{60} = v_{вело} \times \frac{2}{3} \]
За оставшееся время: 10 мин (после второго догоня до конца общего времени в 50 мин): \[ v_{мото} \times \frac{10}{60} = v_{мото} \times \frac{1}{6} \]
Но более правильный подход — работать по расстоянию и скорости.
Шаг 5. Использование правил встречи:
Когда мотоциклист догнал велосипедиста в первый раз через 10 минут, расстояние, которое прошли оба, должно совпадать, поскольку они стартовали из разных точек, но находятся на той же линии.
Образуется уравнение:
Мотоциклист за 10 минут догнал велосипедиста, который за это время прошел определённое расстояние.
Далее, в течение этого времени, оба движутся:
- Велосипедист — со скоростью \( v_{вело} \)
- Мотоциклист — со скоростью \( v_{мото} \)
Мотоциклист, стартуя после 40 минут, догоняет велосипедиста уже во второй раз после 40 минут.
Шаг 6. Итоговое решение — уравнения
Первая встреча:
Мотоциклист и велосипедист стартовали в разные моменты, но за это время мотоциклист догнал велосипедиста.
Обозначим:
- Начальное расстояние между стартами в момент, когда мотоциклист начал движение: велосипед уже проехал \( v_{вело} \times \frac{40}{60} \).
За 10 минут после запуска мотоциклист догоняет велосипедиста:
\[ v_{мото} \times \frac{10}{60} = \text{расстояние, пройденное мотоциклистом} \\ v_{вело} \times \frac{10}{60} \text{ — расстояние велосипедиста за это время} \]
Мотоциклист догнал велосипедиста, т.е.:
\[ v_{мото} \times \frac{10}{60} = v_{вело} \times \frac{10}{60} + (\text{начальная разница в расстояниях}) \]
Но начальная разница — это расстояние, которое велосипедист прошел за 40 минут, пока мотоциклист не начал движение:
\[
v_{вело} \times \frac{40}{60} = v_{вело} \times \frac{2}{3}
\]
что равно расстоянию, которое уже было пройдено велосипедистом в момент запуска мотоциклиста.
Общее уравнение (для первой встречи):
\[ v_{мото} \times \frac{10}{60} = v_{вело} \times \frac{10}{60} + v_{вело} \times \frac{2}{3} \]
Перепишем:
\[ v_{мото} \times \frac{1}{6} = v_{вело} \times \frac{1}{6} + v_{вело} \times \frac{2}{3} \]
Приведем к общему знаменателю:
\[ v_{мото} \times \frac{1}{6} = v_{вело} \times \left(\frac{1}{6} + \frac{2}{3}\right) = v_{вело} \times \left(\frac{1}{6} + \frac{4}{6}\right) = v_{вело} \times \frac{5}{6} \]
Отсюда:
\[ v_{мото} = v_{вело} \times \frac{5}{6} \times 6 = v_{вело} \times 5 \]
То есть:
\[
v_{мото} = 5 v_{вело}
\]
Шаг 7. Используем вторую встречу (через 40 минут после первого):
Далее, расстояние между мотоциклом и велосипедистом во второй раз после первого — снова равно длине маршрута, то есть 60 км (в случае полного круга).
Мотоциклист догоняет велосипедиста вторично через 40 минут после первой догоняния, т.е. через ещё 40 минут.
Общая длина поездки:
- Мотоциклист за 50 минут до второго догоня (весь промежуток от начала до второго догоня):
\[ v_{мото} \times \frac{50}{60} = v_{мото} \times \frac{5}{6} \] - Велосипедист за тот же промежуток:
\[ v_{вело} \times \frac{5}{6} \]
Но поскольку они снова догоняются после полного пробега маршрута, \(S = 60\) км, то скорости связаны:
\[ v_{мото} \times \frac{50}{60} - v_{вело} \times \frac{50}{60} = 60 \]
или
\[ (v_{мото} - v_{вело}) \times \frac{5}{6} = 60 \]
подставляем \( v_{мото} = 5 v_{вело} \):
\[ (5 v_{вело} - v_{вело}) \times \frac{5}{6} = 60 \] \[ 4 v_{вело} \times \frac{5}{6} = 60 \] \[ \frac{20}{6} v_{вело} = 60 \] \[ \frac{10}{3} v_{вело} = 60 \] \[ v_{вело} = 60 \times \frac{3}{10} = 18 \text{ км/ч} \]
Теперь находим \(v_{мото}\):
\[ v_{мото} = 5 \times v_{вело} = 5 \times 18 = 90 \text{ км/ч} \]
Ответ:
**С
