По тарифному плану «Просто как день» компания сотовой связи каждый вечер По тарифному т снимает со счёта абонента 16 руб. Если на счету осталось меньше 16 руб., то на следующее…
По тарифному плану «Просто как день» компания сотовой связи каждый вечер По тарифному т снимает со счёта абонента 16 руб. Если на счету осталось меньше 16 руб., то на следующее утро номер блокируют до пополнения счёта. Сегодня утром у Лизы на счету было 300 руб. Сколько дней (включая сегодняшний) она сможет пользоваться телефоном, не пополняя счёт? Через точку, лежащую на высоте прямого кругового конуса и делящую её в отношении 1 : 2, считая от вершины конуса, проведена плоскость, параллельная его основанию и делящая конус на две части. Каков объём той части конуса, которая примыкает к его основанию, если объём всего конуса равен 54?
Давайте решим оба задания по порядку.
Задача 1. Сколько дней сможет Лиза использовать телефон без пополнения счёта?
Дано:
- Начальный баланс: 300 руб.
- Ежедневная стоимость использования: 16 руб.
- Каждый вечер снимается по 16 руб., если на счету достаточно средств.
- Если останется меньше 16 руб., телефон блокируется.
Рассчитаем количество полных дней:
Общее количество денег: 300 руб.
Дней, на которые хватит денег, включая текущий день:
- Количество дней = целая часть от деления 300 на 16:
\[ \lfloor 300/16 \rfloor = \lfloor 18.75 \rfloor = 18 \]
Проверим:
- За 18 дней снимется: \( 18 \times 16 = 288 \) руб.
- Остаток на счету после 18 дней: \( 300 - 288 = 12 \) руб.
На следующий день (19-й день) останется 12 руб., что недостаточно для списания 16 руб., значит телефон будет заблокирован.
Ответ: 18 дней
Задача 2. Объем части конуса, прилегающей к основанию, при делении конуса плоскостью, параллельной основанию, в отношении 1:2.
Дано:
- Объем всего конуса: \( V_{total} = 54 \)
- Высота конуса разбита плоскостью, параллельной основанию, в отношении \( 1:2 \).
Это значит, что делящая плоскость находится так, что отношение высот новых, меньших конусов составляет 1:2.
Обозначим:
- Высоту конуса: \( H \)
- Расстояние от вершины до делящей плоскости: \( h_1 \)
- Расстояние от делящей плоскости до основания: \( h_2 \)
По условию: \[ h_1 : h_2 = 1 : 2 \] и \[ h_1 + h_2 = H \Rightarrow h_1 : H = 1 : 3 \]
(так как \( 1 + 2 = 3 \)), а значит:
\[ h_1 = \frac{H}{3} \] \[ h_2 = \frac{2H}{3} \]
Плоскость, параллельная основанию, делит конус на две части — меньшую (наверху) и большую (у основания).
Объем меньшего конуса (от вершины до делящей плоскости) пропорционален кубу подобия, поскольку объем подобного тела пропорционален кубу соответствующей линейной стороны.
Размеры:
- Высота меньшего конуса: \( H_1 = h_1 = H/3 \)
- Высота большего: \( H_2 = 2H/3 \)
- И поскольку высота малого конуса равна \( H/3 \), то его радиус \( r_1 \) к радиусу полного конуса \( R \) связаны соотношением:
\[ r_1 / R = h_1 / H = 1/3 \]
Объем меньшего конуса:
\[ V_{меньший} = \frac{1}{3} \pi r_1^2 H_1 \]
Объем полного конуса:
\[ V_{тотал} = \frac{1}{3} \pi R^2 H = 54 \]
Радиус меньшего конуса:
\[ r_1 = R/3 \]
Объем меньшего конуса:
\[ V_{меньший} = \frac{1}{3} \pi (R/3)^2 (H/3) = \frac{1}{3} \pi \frac{R^2}{9} \frac{H}{3} = \frac{1}{3} \pi \frac{R^2 H}{27} = \frac{1}{81} \pi R^2 H \]
Значит:
\[ V_{меньший} = \frac{V_{тотал}}{81/1} = \frac{54}{81} = \frac{18}{27} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \]
Но нужно проверить точность: проще говоря, объем меньшего конуса равен:
\[ V_{меньший} = \frac{(h_1)^3}{H^3} \times V_{total} = \left(\frac{1}{3}\right)^3 \times 54 = \frac{1}{27} \times 54 = 2 \]
Объем части конуса, примыкающей к основанию, — это меньший конус, и его объем равен 2.
Ответ: 2
Если есть вопросы или нужен разбор других задач, обращайтесь!
