6 У Тани есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 270 см, а после каждого следующего отскока от асфальта…

Давайте разберём задачу пошагово и подробно.

Итак, у нас есть следующая информация:

• После первого отскока мячик подлетает на высоту 270 см.
• После каждого следующего отскока высота становится в три раза меньше предыдущей.
• Нужно определить, после какого по счёту отскока высота станет меньше 10 см.

Обозначим:

• n — номер отскока (где первый отскок — это после первого броска).

Высота после первого отскока: \[ h_1 = 270 \text{ см} \]

Высота после второго отскока: \[ h_2 = \frac{h_1}{3} = \frac{270}{3} \] и так далее.

Общая формула для высоты после n-го отскока: \[ h_n = \frac{h_1}{3^{n-1}} \]

Нам нужно найти минимальное n, при котором: \[ h_n < 10 \]

Подставим выражение для \( h_n \): \[ \frac{270}{3^{n-1}} < 10 \]

Теперь решим это неравенство:

1. Умножим обе стороны на \( 3^{n-1} \): \[ 270 < 10 \times 3^{n-1} \]

2. Разделим обе стороны на 10: \[ \frac{270}{10} < 3^{n-1} \] \[ 27 < 3^{n-1} \]

Теперь нужно найти минимальное целое n, при котором: \[ 3^{n-1} > 27 \]

Пусть \( n - 1 = m \), тогда: \[ 3^m > 27 \]

Известно, что: \[ 3^3 = 27 \]

Поэтому, чтобы \( 3^m > 27 \), необходимо: \[ 3^m > 3^3 \] \[ m > 3 \]

Значит: \[ m = 4, 5, 6, \dots \]

Вернёмся к n: \[ n - 1 = m \] \[ n = m + 1 \]

Так как \( m > 3 \), то минимальное целое значение — \( m = 4 \): \[ n = 4 + 1 = 5 \]

Ответ: после 5-го отскока высота станет меньше 10 см.

Если нужно, я могу более подробно прокомментировать каждый шаг.