79 Основание пирамиды SABC — равносторонний треугольник со стороной 1. Вершина S проектируется в точку А, SA = 1. Найдите расстояние между прямыми АВ и SC.
Давайте разберем задачу пошагово и подробно.
Условие задачи:
- Основание пирамиды \( SABC \) — равносторонний треугольник со стороной 1.
- Точка \( A \) — проекция вершины \( S \) на основание (предположительно, точка \( A \) лежит на стороне основания или является проекцией вершины \( S \) на плоскость основания).
- Вершина \( S \) проецируется в точку \( A \).
- Дано \( SA = 1 \).
- Нужно найти расстояние между двумя прямыми: \( AB \) и \( SC \).
Шаг 1. Анализ условий
- Основание — равносторонний треугольник \( ABC \) со стороной 1.
- Точка \( A \) — точка на основании (скорее всего, решили указать, что эта точка — вершина) или точка проекции \( S \)? Условие говорит: "Вершина \( S \) проектируется в точку \( A \)", — значит, \( A \) — проекция вершины \( S \).
- Итак, \( S \) — вершина пирамиды, \( A \) — проекция \( S \) на основание \( ABC \).
- Также указано \( SA = 1 \). Будем считать, что \( A \) — точка основания, в которую проектируется \( S \).
Шаг 2. Ввод вспомогательных обозначений
Поскольку \( ABC \) — равносторонний треугольник со стороной 1, выберем координатную систему для удобства.
- Пусть \( A \) — в начале координат: \( A (0,0,0) \).
- Пусть \( B \) — на оси \( x \) на расстоянии 1 от \( A \): \( B (1,0,0) \).
- Пусть \( C \) — в плоскости, чтобы треугольник был равносторонним, например, \( C \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right) \).
Теперь у нас есть основание в плоскости \( z=0 \).
Шаг 3. Определение точки \( S \)
- Проекция \( S \) в точку \( A \) — это значит, что \( A \) — проекция вершины \( S \).
- Пусть \( S \) имеет координаты \( (x_S, y_S, z_S) \). Тогда проекция на плоскость основания — это точка с координатами \( (x_S, y_S, 0) \).
- По условию, \( A \) — это именно такая точка, то есть \( A = (0,0,0) \).
- Тогда, по условию \( S \) проецируется в \( A \), то есть \( S \) — точка, имеющая проекцию в \( (0,0,0) \), а сама она в пространстве — может иметь координаты \( (0,0,z_S) \), то есть лежит прямо над точкой \( A \).
- Также дано, что \( SA = 1 \), (расстояние между \( S \) и \( A \)) — это высота пирамиды.
Следовательно:
\[ S = (0, 0, 1). \]
Шаг 4. Определение точек \( B \) и \( C \)
- \( B (1,0,0) \)
- \( C \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right) \)
Шаг 5. Постановка задачи
Нужно найти расстояние между:
- прямой \( AB \)
- прямой \( SC \).
Из координат:
\[ A = (0,0,0), \quad B = (1,0,0) \] \[ S = (0,0,1), \quad C = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right) \]
Шаг 6. Запись уравнений прямых
- Прямая \( AB \):
Точки \( A \) и \( B \).
Вектор направления:
\[ \vec{AB} = B - A = (1,0,0) \]
Параметрически:
\[ x = 0 + t \cdot 1 = t, \quad y=0, \quad z=0 \] или:
\[ \textbf{Прямая } AB: \quad (x, y, z) = (t, 0, 0), \quad t \in \mathbb{R} \]
- Прямая \( SC \):
Точки \( S \) и \( C \).
Вектор направления:
\[ \vec{SC} = C - S = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, -1 \right) \]
Параметрически:
\[ x = 0 + s \cdot \frac{1}{2} = \frac{s}{2}, \quad y = 0 + s \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} s, \quad z= 1 + s \cdot (-1) = 1 - s \]
Шаг 7. Расстояние между skew-правыми прямыми
Формула расстояния между двумя скрещивающимися (или пересекающимися, или нес交яющимися) прямыми в пространстве:
\[ d = \frac{|(\vec{A_0B_0}) \cdot (\vec{u} \times \vec{v})|}{|\vec{u} \times \vec{v}|} \]
где:
- \( \vec{A_0B_0} \) — вектор между точками, лежащими на данных прямых (можно взять \( A \) и \( S \), разность \( S - A \));
- \( \vec{u} \) — направление первой прямой;
- \( \vec{v} \) — направление второй прямой.
Шаг 8. Вычисление
- Точка на первой прямой: \( A = (0,0,0) \).
- Точка на второй: \( S = (0,0,1) \).
Вектор между ними:
\[ \vec{A S} = (0 - 0, 0 - 0, 1 - 0) = (0,0,1) \]
- Направление \( AB \):
\[ \vec{u} = (1, 0, 0) \]
- Направление \( SC \):
\[ \vec{v} = \left( \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, -1 \right) \]
Шаг 9. Вычисление векторного произведения \( \vec{u} \times \vec{v} \)
\[ \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & -1 \\ \end{vmatrix} \]
Вычисляем:
\[ \mathbf{i} \left( 0 \cdot (-1) - 0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \right) - \mathbf{j} \left( 1 \cdot (-1) - 0 \cdot \frac{1}{2} \right) + \mathbf{k} \left( 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 0 \cdot \frac{1}{2} \right) \]
\[ = \mathbf{i} (0 - 0) - \mathbf{j} (-1 - 0) + \mathbf{k} \left(\frac{\sqrt{3}}{2} - 0\right) \]
\[ = 0 \mathbf{i} + 1 \mathbf{j} + \frac{\sqrt{3}}{2} \mathbf{k} \]
Итак:
\[ \vec{u} \times \vec{v} = (0, 1, \frac{\sqrt{3}}{2}) \]
Шаг 10. Вычисление модуля \( |\vec{u} \times \vec{v}| \)
\[ |\vec{u} \times \vec{v}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{1 + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{4}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2} \]
Шаг 11. Числитель — скалярное произведение \( \vec{A S} \) и \( \vec{u} \times \vec{v} \):
\[ \vec{A S} = (0, 0, 1) \] \[ \vec{u} \times \vec{v} = (0, 1, \frac{\sqrt{3}}{2}) \]
Скалярное произведение:
\[ (0,0,1) \cdot (0, 1, \frac{\sqrt{3}}{2}) = 0 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
Шаг 12. Итоговое расстояние
\[ d = \frac{\left| \frac{\sqrt{3}}{2} \right|}{\frac{\sqrt{7}}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{7}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} \]
Ответ:
\[ \boxed{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}} \]
или, в более привычной форме:
\[ \boxed{\frac{\sqrt{21}}{7}} \]
Если нужно, я могу дать более краткое резюме или дополнительные пояснения.
