Постройте график функцииy=2,5x−3,5приx<1; − 2,5x+4при,1≤x≤3;1,5x−8 при,x>3. Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.

Конечно! Давайте подробно разберем задачу. ### Задача: Нам нужно построить график функции: \[ y = \begin{cases} 2{,}5x - 3{,}5, & \text{при } x < 1 \\ -2{,}5x + 4, & \text{при } 1 \leq x \leq 3 \\ 1{,}5x - 8, & \text{при } x > 3 \end{cases} \] а также определить **значения m**, при которых прямая вида \( y = m \) пересекает график ровно в двух точках. --- ## Шаг 1: Построение графика функции Это кусочно-линейная функция, состоящая из трех линий: - Первая: \( y = 2,5x - 3,5 \), для \( x < 1 \) - Вторая: \( y = -2,5x + 4 \), для \( 1 \leq x \leq 3 \) - Третья: \( y = 1,5x - 8 \), для \( x > 3 \) ### Построим ключевые точки для каждой части: #### Для \( x < 1 \): - Вычислим значение при \( x \to 1^- \): \[ y = 2,5 \times 1 - 3,5 = 2,5 - 3,5 = -1 \] - Возьмем, например, точку при \( x = 0 \): \[ y = 2,5 \times 0 - 3,5 = -3,5 \] #### Для \( x \in [1, 3] \): - Значение при \( x=1 \): \[ y = -2,5 \times 1 + 4 = -2,5 + 4 = 1,5 \] - Значение при \( x=3 \): \[ y = -2,5 \times 3 + 4 = -7,5 + 4 = -3,5 \] #### Для \( x > 3 \): - Значение при \( x=3 \): \[ y = 1,5 \times 3 - 8 = 4,5 - 8 = -3,5 \] - Возьмем точку при \( x=4 \): \[ y=1,5 \times 4 - 8= 6 - 8= -2 \] --- ## Шаг 2: Постройка графика с помощью ключевых точек Итак, у нас есть: - Первая часть: линия через точки \((0, -3,5)\) и приближается к точке \((1, -1)\) при \( x \to 1^{-}\) - Вторая часть: проходит через точки \((1, 1,5)\) и \((3, -3,5)\) - Третья часть: через точки \((3, -3,5)\) и \((4, -2)\) --- ## Шаг 3: Анализ прямой \( y = m \) Нам нужно найти все значения \( m \), при которых прямая: \[ y = m \] будет иметь **ровно две точки пересечения с графиком**. --- ## Шаг 4: Как найти пересечения? Пересечение — это решения уравнения \( y = m \), которое дается уравнением линий: - Для первой части: \( 2,5x - 3,5 = m \) - Для второй части: \( -2,5x + 4= m \) - Для третьей части: \( 1,5x - 8= m \) Чтобы понять, сколько решений уравнений: - \( 2,5x - 3,5 = m \) - \( -2,5x + 4= m \) - \( 1,5x - 8= m \) насчет иметь ровно две точки пересечения. --- ## Шаг 5: Анализ пересечений для каждого участка ### Первый участок (\( x<1 \)): Решим уравнение: \[ 2,5x - 3,5 = m \] \[ x = \frac{m + 3,5}{2,5} \] Это решение существует для любого \( m \), и оно принадлежит области \( x<1 \): \[ x=\frac{m + 3,5}{2,5}<1 \] что даст неравенство: \[ \frac{m + 3,5}{2,5}<1 \] \[ m + 3,5 < 2,5 \] \[ m < -1 \] - Если \( m < -1 \), то пересечение есть, и оно при этом \( x<1 \). - Для \( m > -1 \), решение лежит правее \( x=1 \); в таком случае, пересечений с этим участком **не будет**, так как \( x \geq 1 \), и оно не входит в текущий диапазон. ### Второй участок (\( 1 \leq x \leq 3 \)): Решим: \[ -2,5x + 4= m \] \[ x = \frac{4 - m}{2,5} \] Для пересечения этот \( x \) должно попадать в диапазон \([1,3]\): \[ 1 \leq \frac{4 - m}{2,5} \leq 3 \] Решим двойное неравенство: - Первая часть: \[ 1 \leq \frac{4 - m}{2,5} \Rightarrow 2,5 \leq 4 - m \Rightarrow m \leq 4 - 2,5=1,5 \] - Вторая часть: \[ \frac{4 - m}{2,5} \leq 3 \Rightarrow 4 - m \leq 7,5 \Rightarrow m \geq 4 - 7,5 = -3,5 \] Объединяем: \[ -3,5 \leq m \leq 1,5 \] --- ### Третий участок (\( x > 3 \)): Решение: \[ 1,5x - 8= m \] \[ x= \frac{m+8}{1,5} \] Для пересечения \( x>3 \): \[ \frac{m+8}{1,5} > 3 \] \[ m+8 > 4,5 \] \[ m > -3,5 \] Также, чтобы пересечение было внутри участка, \( x \) не должно превышать \(\infty\). ---- ## Шаг 6: Обобщение — при каких \( m \) будет ровно 2 пересечения? Пункты, о которых мы узнали: - **Первый участок** дает пересечение только при \( m < -1 \). Подробнее: - Если \( m < -1 \): * Пересечений — 1 (т.к. решение лежит в области \( x<1 \)) - В противном случае — 0. - **Второй участок** дает пересечение при \( -3,5 \leq m \leq 1,5 \): * Для каждого \( m \) в этой области — ровно одно пересечение. - **Третий участок** — пересечение при \( m > -3,5 \): * Одно решение, при условии \( x>3 \). --- ## Итог: - Для **ровно двух пересечений** требуется, чтобы: 1. Одна точка пересечения — из первого участка (\( m < -1 \)) 2. Вторая — из второго или третьего участка, при этом: - Если пересечения из второго участка (\( -3,5 \leq m \leq 1,5 \)) и из первого участка (\( m < -1 \)), их объединение даст два пересечения, если \( m< -1 \) и \( m \geq -3,5 \). Тогда для \( -3,5 \leq m < -1 \) получается 2 пересечения — одно из первого участка и одно из второго. 3. Или, если из второго и третьего участка: - \( -3,5 \leq m \leq 1,5 \) (второй участок) - \( m > -3,5 \) (третья часть), при этом: * для \( m > -3,5 \), пересечение из третьего участка — 1 * пересечение из второго — 1, если \( m \in [-3,5, 1,5] \), то получается 2 пересечения в диапазоне \( m \in [-3,5, 1,5] \) --- ### В итоге: Проверим внимательно: - **m < -1**: - Пересечение: из первого участка - Возможно, еще из второго? Нет, потому что \( m < -1 \) не входит в \( -3,5 \leq m \leq 1,5 \) — в точке \( m < -3,5 \) — пересечения только из первого участка, и одного из третьего, если \( m > -3,5 \). - **m = -3,5**: - Пересечения: - Первый участок: \( m < -1 \) — да, пересечение есть. - Второй участок: при \( m = -3,5 \), \( x = (4 - (-3,5))/2,5= (7,5)/2,5=3 \), что входит в диапазон \([1,3]\), значит, есть пересечение. - Третий: \( m > -3,5 \) — не выполняется, следовательно, только два пересечения: одно из 1-го и одно из 2-го участка. **Итак, правильное условие:** - \( m < -1 \), **и**, чтобы в это же время не было пересечения из третьего участка — **не** (так как пересечение из третьего случаемся, если \( m > -3,5 \)). Значит, для \( m < -3,5 \), есть только 1 пересечение из первого участка. Не подходит. - Для **\( -3,5 \leq m < -1 \)**: - Пересечение из первого участка \( (x<1) \). - Пересечение из второго участка при \( m \in [-3,5, 1,5] \). В этом диапазоне, при \( -3,5 \leq m < -1 \), есть и из первого и из второго — то есть 2 пересечения. --- ## Итоговое решение: \[ \boxed{ \text{Число пересечений ровно равно 2} \quad \text{при} \quad -3,5 \leq m < -1 } \] --- ## **Ответ:** **Значения \( m \), при которых прямая \( y=m \) пересекает график ровно в двух точках:** \[ \boxed{ -3,5 \leq m < -1 } \] --- Если есть вопросы или нужно построить график — я помогу!