Постройте график функцииy=2,5x−3,5приx<1; − 2,5x+4при,1≤x≤3;1,5x−8 при,x>3. Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.
Конечно! Давайте подробно разберем задачу.
Задача:
Нам нужно построить график функции:
\[ y = \begin{cases} 2{,}5x - 3{,}5, & \text{при } x < 1 \\ -2{,}5x + 4, & \text{при } 1 \leq x \leq 3 \\ 1{,}5x - 8, & \text{при } x > 3 \end{cases} \]
а также определить значения m, при которых прямая вида \( y = m \) пересекает график ровно в двух точках.
Шаг 1: Построение графика функции
Это кусочно-линейная функция, состоящая из трех линий:
- Первая: \( y = 2,5x - 3,5 \), для \( x < 1 \)
- Вторая: \( y = -2,5x + 4 \), для \( 1 \leq x \leq 3 \)
- Третья: \( y = 1,5x - 8 \), для \( x > 3 \)
Построим ключевые точки для каждой части:
Для \( x < 1 \):
- Вычислим значение при \( x \to 1^- \): \[ y = 2,5 \times 1 - 3,5 = 2,5 - 3,5 = -1 \]
- Возьмем, например, точку при \( x = 0 \): \[ y = 2,5 \times 0 - 3,5 = -3,5 \]
Для \( x \in [1, 3] \):
- Значение при \( x=1 \): \[ y = -2,5 \times 1 + 4 = -2,5 + 4 = 1,5 \]
- Значение при \( x=3 \): \[ y = -2,5 \times 3 + 4 = -7,5 + 4 = -3,5 \]
Для \( x > 3 \):
- Значение при \( x=3 \): \[ y = 1,5 \times 3 - 8 = 4,5 - 8 = -3,5 \]
- Возьмем точку при \( x=4 \): \[ y=1,5 \times 4 - 8= 6 - 8= -2 \]
Шаг 2: Постройка графика с помощью ключевых точек
Итак, у нас есть:
- Первая часть: линия через точки \((0, -3,5)\) и приближается к точке \((1, -1)\) при \( x \to 1^{-}\)
- Вторая часть: проходит через точки \((1, 1,5)\) и \((3, -3,5)\)
- Третья часть: через точки \((3, -3,5)\) и \((4, -2)\)
Шаг 3: Анализ прямой \( y = m \)
Нам нужно найти все значения \( m \), при которых прямая:
\[ y = m \]
будет иметь ровно две точки пересечения с графиком.
Шаг 4: Как найти пересечения?
Пересечение — это решения уравнения \( y = m \), которое дается уравнением линий:
- Для первой части: \( 2,5x - 3,5 = m \)
- Для второй части: \( -2,5x + 4= m \)
- Для третьей части: \( 1,5x - 8= m \)
Чтобы понять, сколько решений уравнений:
- \( 2,5x - 3,5 = m \)
- \( -2,5x + 4= m \)
- \( 1,5x - 8= m \)
насчет иметь ровно две точки пересечения.
Шаг 5: Анализ пересечений для каждого участка
Первый участок (\( x<1 \)):
Решим уравнение: \[ 2,5x - 3,5 = m \] \[ x = \frac{m + 3,5}{2,5} \]
Это решение существует для любого \( m \), и оно принадлежит области \( x<1 \):
\[ x=\frac{m + 3,5}{2,5}<1 \]
что даст неравенство:
\[ \frac{m + 3,5}{2,5}<1 \] \[ m + 3,5 < 2,5 \] \[ m < -1 \]
Если \( m < -1 \), то пересечение есть, и оно при этом \( x<1 \).
Для \( m > -1 \), решение лежит правее \( x=1 \); в таком случае, пересечений с этим участком не будет, так как \( x \geq 1 \), и оно не входит в текущий диапазон.
Второй участок (\( 1 \leq x \leq 3 \)):
Решим:
\[ -2,5x + 4= m \] \[ x = \frac{4 - m}{2,5} \]
Для пересечения этот \( x \) должно попадать в диапазон \([1,3]\):
\[ 1 \leq \frac{4 - m}{2,5} \leq 3 \]
Решим двойное неравенство:
- Первая часть:
\[ 1 \leq \frac{4 - m}{2,5} \Rightarrow 2,5 \leq 4 - m \Rightarrow m \leq 4 - 2,5=1,5 \]
- Вторая часть:
\[ \frac{4 - m}{2,5} \leq 3 \Rightarrow 4 - m \leq 7,5 \Rightarrow m \geq 4 - 7,5 = -3,5 \]
Объединяем:
\[ -3,5 \leq m \leq 1,5 \]
Третий участок (\( x > 3 \)):
Решение:
\[ 1,5x - 8= m \] \[ x= \frac{m+8}{1,5} \]
Для пересечения \( x>3 \):
\[ \frac{m+8}{1,5} > 3 \] \[ m+8 > 4,5 \] \[ m > -3,5 \]
Также, чтобы пересечение было внутри участка, \( x \) не должно превышать \(\infty\).
Шаг 6: Обобщение — при каких \( m \) будет ровно 2 пересечения?
Пункты, о которых мы узнали:
Первый участок дает пересечение только при \( m < -1 \). Подробнее:
- Если \( m < -1 \):
- Пересечений — 1 (т.к. решение лежит в области \( x<1 \))
- В противном случае — 0.
- Если \( m < -1 \):
Второй участок дает пересечение при \( -3,5 \leq m \leq 1,5 \):
- Для каждого \( m \) в этой области — ровно одно пересечение.
Третий участок — пересечение при \( m > -3,5 \):
- Одно решение, при условии \( x>3 \).
Итог:
Для ровно двух пересечений требуется, чтобы:
Одна точка пересечения — из первого участка (\( m < -1 \))
Вторая — из второго или третьего участка, при этом:
- Если пересечения из второго участка (\( -3,5 \leq m \leq 1,5 \)) и из первого участка (\( m < -1 \)), их объединение даст два пересечения, если \( m< -1 \) и \( m \geq -3,5 \). Тогда для \( -3,5 \leq m < -1 \) получается 2 пересечения — одно из первого участка и одно из второго.
Или, если из второго и третьего участка:
- \( -3,5 \leq m \leq 1,5 \) (второй участок)
- \( m > -3,5 \) (третья часть), при этом:
- для \( m > -3,5 \), пересечение из третьего участка — 1
- пересечение из второго — 1, если \( m \in [-3,5, 1,5] \), то получается 2 пересечения в диапазоне \( m \in [-3,5, 1,5] \)
В итоге:
Проверим внимательно:
m < -1:
- Пересечение: из первого участка
- Возможно, еще из второго? Нет, потому что \( m < -1 \) не входит в \( -3,5 \leq m \leq 1,5 \) — в точке \( m < -3,5 \) — пересечения только из первого участка, и одного из третьего, если \( m > -3,5 \).
m = -3,5:
- Пересечения:
- Первый участок: \( m < -1 \) — да, пересечение есть.
- Второй участок: при \( m = -3,5 \), \( x = (4 - (-3,5))/2,5= (7,5)/2,5=3 \), что входит в диапазон \([1,3]\), значит, есть пересечение.
- Третий: \( m > -3,5 \) — не выполняется, следовательно, только два пересечения: одно из 1-го и одно из 2-го участка.
- Пересечения:
Итак, правильное условие:
\( m < -1 \), и, чтобы в это же время не было пересечения из третьего участка — не (так как пересечение из третьего случаемся, если \( m > -3,5 \)). Значит, для \( m < -3,5 \), есть только 1 пересечение из первого участка. Не подходит.
Для \( -3,5 \leq m < -1 \):
- Пересечение из первого участка \( (x<1) \).
- Пересечение из второго участка при \( m \in [-3,5, 1,5] \). В этом диапазоне, при \( -3,5 \leq m < -1 \), есть и из первого и из второго — то есть 2 пересечения.
Итоговое решение:
\[ \boxed{ \text{Число пересечений ровно равно 2} \quad \text{при} \quad -3,5 \leq m < -1 } \]
Ответ:
Значения \( m \), при которых прямая \( y=m \) пересекает график ровно в двух точках:
\[ \boxed{ -3,5 \leq m < -1 } \]
Если есть вопросы или нужно построить график — я помогу!
