Влажный воздух при давлении 20000 Па сжали так, что объём газа уменьшился в 5 раз. Температура газа при этом оставалась постоянной. Известно, что после сжатия влажность стала 90%.…

Давайте разберемся с задачей по шагам.

Дано:

• Давление воздуха \( P = 20000 \, \text{Па} \)
• Объем после сжатия \( V_2 \) в 5 раз меньше первоначального \( V_1 \), то есть: \[ V_2 = \frac{V_1}{5} \]
• Температура постоянна \( T \) (процесс изотермический)
• Влажность после сжатия \( \phi_2 = 90\% \)
• Нужно найти исходную влажность \( \phi_1 \)

---

Шаг 1: Вспомогательные понятия

Влажность воздуха — это отношение парциального давления водяного пара к давлению насыщенного пара при данной температуре, выраженное в процентах:

\[ \phi = \frac{p_v}{p_{нас}} \times 100\% \]

где:

• \( p_v \) — парциальное давление водяного пара
• \( p_{нас} \) — давление насыщенного пара при температуре \( T \)

При изотермическом процессе использует приравнивание уравнения Клапейрона — Менделеева:

\[ pV = nRT \]

или в виде для массовых долей,

поскольку температура постоянна, и газовая постоянная \( R \) постоянна.

Объем и давление связаны:

\[ p_1 V_1 = p_2 V_2 \]

---

Шаг 2: Связь парциальных давлений

На входе:

\[ p_{v1} = \phi_1 \times p_{нас} \]

На выходе:

\[ p_{v2} = \phi_2 \times p_{нас} = 0.9 \times p_{нас} \]

Объем на входе и выходе связаны:

\[ p_1 V_1 = p_2 V_2 \]

Что можно переписать как:

\[ p_{total_1} V_1 = p_{total_2} V_2 \]

Где:

• \( p_{total_1} = p_{воздуха} + p_{v1} \)
• \( p_{total_2} = p_{воздуха} + p_{v2} \)

---

Шаг 3: Вычисление давления сухого воздуха

При изотермическом сжатии

\[ p_{total_2} = p_{total_1} \times \frac{V_1}{V_2} = p_{total_1} \times 5 \]

Обозначим:

\[ p_{total_1} = p_{воздуха} + p_{v1} \] \[ p_{total_2} = p_{воздуха} + p_{v2} \]

Тогда:

\[ p_{воздуха} + p_{v2} = 5 (p_{воздуха} + p_{v1}) \]

Подставим \( p_{v2} = 0.9 p_{нас} \), а \( p_{v1} = \phi_1 p_{нас} \):

\[ p_{воздуха} + 0.9 p_{нас} = 5 \left( p_{воздуха} + \phi_1 p_{нас} \right) \]

Теперь выразим \( p_{воздуха} \):

\[ p_{воздуха} + 0.9 p_{нас} = 5 p_{воздуха} + 5 \phi_1 p_{нас} \]

Переносим все члены с \( p_{воздуха} \) в левую часть:

\[ p_{воздуха} - 5 p_{воздуха} = 5 \phi_1 p_{нас} - 0.9 p_{нас} \]

\[ -4 p_{воздуха} = p_{нас} (5 \phi_1 - 0.9) \]

Выразим \( p_{воздуха} \):

\[ p_{воздуха} = - \frac{p_{нас} (5 \phi_1 - 0.9)}{4} \]

Обратите внимание: давление не может быть отрицательным, значит, слева должно быть положительным.

---

Шаг 4: Реальные значения давления насыщенного пара \( p_{нас} \)

По таблицам для температуры t, например \( T = 20^\circ C \):

\[ p_{нас} \approx 2\, 340 \text{Па} \]

При этом:

\[ p_{v1} = \phi_1 p_{нас} \] \[ p_{v2} = 0.9 p_{нас} \]

Шаг 5: Итоговое выражение для влажности

Из уравнения:

\[ p_{воздуха} = - \frac{p_{нас} (5 \phi_1 - 0.9)}{4} \]

И известно, что давление сухого воздуха \( p_{воздуха} \):

\[ p_{воздуха} = p_{total} - p_{v} \]

или:

\[ p_{total} = p_{воздуха} + p_{v} \]

На входе:

\[ p_{total_1} = p_{воздуха} + \phi_1 p_{нас} \]

На выходе:

\[ p_{total_2} = p_{воздуха} + 0.9 p_{нас} \]

Но из уравнения:

\[ p_{total_2} = 5 p_{total_1} \]

Подставим:

\[ p_{воздуха} + 0.9 p_{нас} = 5 (p_{воздуха} + \phi_1 p_{нас}) \]

Обратимся к решению этого уравнения для \( \phi_1 \):

\[ p_{воздуха} + 0.9 p_{нас} = 5 p_{воздуха} + 5 \phi_1 p_{нас} \]

Из ранее полученного выражения \( p_{воздуха} \):

\[ p_{воздуха} = - \frac{p_{нас} (5 \phi_1 - 0.9)}{4} \]

Подставим:

\[ - \frac{p_{нас} (5 \phi_1 - 0.9)}{4} + 0.9 p_{нас} = 5 \left(- \frac{p_{нас} (5 \phi_1 - 0.9)}{4}\right) + 5 \phi_1 p_{нас} \]

Глубже упростим уравнение:

\[ - \frac{p_{нас} (5 \phi_1 - 0.9)}{4} + 0.9 p_{нас} = - \frac{5 p_{нас} (5 \phi_1 - 0.9)}{4} + 5 \phi_1 p_{нас} \]

Упростим обе части:

Левая часть:

\[ - \frac{p_{нас} (5 \phi_1 - 0.9)}{4} + 0.9 p_{нас} \]

Правая часть:

\[ - \frac{5 p_{нас} (5 \phi_1 - 0.9)}{4} + 5 \phi_1 p_{нас} \]

Для удобства поделим обе части на \( p_{нас} \):

Левая:

\[ - \frac{(5 \phi_1 - 0.9)}{4} + 0.9 \]

Правая:

\[ - \frac{5 (5 \phi_1 - 0.9)}{4} + 5 \phi_1 \]

Приведем обе стороны к общему виду и решим относительно \( \phi_1 \):

Левая:

\[ - \frac{5 \phi_1 - 0.9}{4} + 0.9 \]

Правая:

\[ - \frac{25 \phi_1 - 4.5}{4} + 5 \phi_1 \]

Раскроем скобки:

Левая:

\[ - \frac{5 \phi_1}{4} + \frac{0.9}{4} + 0.9 \] \[ - \frac{5 \phi_1}{4} + 0.225 + 0.9 = - \frac{5 \phi_1}{4} + 1.125 \]

Правая:

\[ - \frac{25 \phi_1}{4} + \frac{4.5}{4} + 5 \phi_1 \] \[ - \frac{25 \phi_1}{4} + 1.125 + 5 \phi_1 \]

Объединим:

\[ - \frac{25 \phi_1}{4} + 5 \phi_1 = - \frac{25 \phi_1}{4} + \frac{20 \phi_1}{4} = - \frac{5 \phi_1}{4} \]

Итоговая правая часть:

\[ - \frac{5 \phi_1}{4} + 1.125 \]

Остается равенство:

\[ - \frac{5 \phi_1}{4} + 1.125 = - \frac{5 \phi_1}{4} + 1.125 \]

Это тождество — равенство выполняется при любом значении \( \phi_1 \).

---

Вывод:

Это говорит о том, что исходная влажность \( \phi_1 \) может иметь любое значение, при условии, что давление насыщенного пара известно.

Но в задаче указано, что после сжатия влажность стала 90%, а давление задано фиксировано — \( 20000\,\text{Па} \).

Обратимся к практическому значению:

• Температура ~20°C, \( p_{нас} \approx 2340\,\text{Па} \).
• Влажность после — 90%, тогда парциальное давление:

\[ p_{v2} = 0.9 \times 2340 \approx 2106\,\text{Па} \]

Общая сухая часть воздуха \( p_{воздуха} \):

\[ p_{воздуха} = p_{total} - p_{v2} = 20000 - 2106 = 17894\,\text{Па} \]

Объем после сжатия \( V_2 = V_1/5 \).

Так как процесс изотермический, давление заполняет объем, и количество воды не изменяется — влажность определяется отношением давления водяных паров к насыщенному.

---

Финальный ответ (округление):

Если влажность после — 90%, то исходная влажность рассчитывается как пропорциональное отношение \( p_{v1} \) к \( p_{нас} \).

Тогда:

\[ \phi_1 = \frac{p_{v1}}{p_{нас}} \]

Но из уравнений видно, что:

\[ p_{v1} = p_{v2} \times \frac{V_2}{V_1} = 2106 \times \frac{1}{5} \approx 421\,\text{Па} \]

И, следовательно,

\[ \phi_1 = \frac{421}{2340} \times 100\% \approx 18\% \]

---

Ответ:

Исходная влажность воздуха была примерно 18%.

---

Если нужно точнее, то округлим до целых — 18%.

---

Если есть еще вопросы — обращайтесь!