Диагональ осевого сечения равна 6√2 и составляет с основанием угол 45° . найди площадь полной поверхности цилиндра

Давайте разберем задачу пошагово и подробно объясним все этапы. **Дано:** - Диагональ осевого сечения цилиндра равна \(6\sqrt{2}\). - Угол между осью цилиндра и образующей (или осевым сечением) равен \(45^\circ\). **Найти:** площадь полной поверхности цилиндра. --- ### Шаг 1: Визуализация и понимание задачи Цилиндр — это тело, чья ось — это линия, соединяющая центры оснований, и у нас есть информация о его сечениях и углах. - Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, одна из диагоналей которого дана. - Угол между осью и образующей (или сечением, проходящим по боковой поверхности) равен 45°. --- ### Шаг 2: Что такое "диагональ осевого сечения"? - Осевое сечение — это сечение, проходящее через ось цилиндра, обычно — прямоугольник. - Диагональ этого прямоугольника равна \(6\sqrt{2}\). Обозначим: - Высота цилиндра — \(h\). - Радиус основания — \(r\). Тогда диагональ осевого сечения — это гипотенуза прямоугольника с катетами: - высотой \(h\), - и длиной, связанной с радиусом \(r\). --- ### Шаг 3: Связь диагонали с высотой и радиусом Если мы нарисуем осевое сечение, то оно — прямоугольник: - Одна сторона — это высота \(h\). - Другая сторона — это длина, связанная с радиусом. Поскольку диагональ равна \(6\sqrt{2}\), по теореме Пифагора: \[ d = \sqrt{h^2 + (2r)^2} \] (здесь \(2r\) — диаметр, потому что осевое сечение включает радиус по вертикали и радиус по горизонтали, или же проще — в зависимости от ориентации — предположим, что диагональ — это диагональ прямоугольника с сторонами \(h\) и \(2r\).) --- ### Шаг 4: Взаимосвязь со светоотсечением Знаем угол \(45^\circ\) между осью и образующей. - В цилиндре угол между осью и образующей связан с радиусом и высотой. Обозначим: - \(\theta = 45^\circ\), - Тогда \(\tan \theta = 1\). В цилиндре, где \(h\) — высота, а \(l\) — образующая (боковая ребро цилиндра), есть соотношение: \[ \tan \theta = \frac{r}{h} \] (так как радиус и высота образуют прямой угол на наклонной). Поскольку \(\tan 45^\circ = 1\): \[ r = h \] Итак, радиус равен высоте: \(r = h\). --- ### Шаг 5: Найти высоту и радиус через диагональ Вернемся к осевому сечению. В прямоугольнике диагональ равна \(6 \sqrt{2}\): \[ d = \sqrt{h^2 + (2r)^2} \] и мы знаем, что \(r = h\), тогда: \[ d = \sqrt{h^2 + (2h)^2} = \sqrt{h^2 + 4h^2} = \sqrt{5h^2} = h\sqrt{5} \] По условию: \[ d = 6\sqrt{2} \] следовательно: \[ h \sqrt{5} = 6 \sqrt{2} \] Решим для \(h\): \[ h = \frac{6 \sqrt{2}}{\sqrt{5}} \] и так как \(r = h\): \[ r = \frac{6 \sqrt{2}}{\sqrt{5}} \] --- ### Шаг 6: Вычисление радиуса и высоты Чтобы упростить выражение для площади, можно оставить так или вычислить приблизительно. Рассчитаем \(r\): \[ r = \frac{6 \sqrt{2}}{\sqrt{5}} = 6 \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = 6 \sqrt{\frac{2}{5}} \] --- ### Шаг 7: Площадь полной поверхности цилиндра Площадь полной поверхности: \[ S = 2\pi r^2 + 2\pi r h \] - \(2\pi r^2\) — площадь двух оснований, - \(2\pi r h\) — боковая поверхность. Так как \(r = h\), то: \[ S = 2\pi r^2 + 2\pi r \cdot r = 2\pi r^2 + 2\pi r^2 = 4\pi r^2 \] Теперь подставим \(r = 6 \sqrt{\frac{2}{5}}\): \[ r^2 = \left(6 \sqrt{\frac{2}{5}}\right)^2 = 36 \cdot \frac{2}{5} = \frac{72}{5} \] Следовательно: \[ S = 4\pi \times \frac{72}{5} = \frac{288\pi}{5} \] --- ### **Ответ:** **Площадь полной поверхности цилиндра равна \(\displaystyle \frac{288\pi}{5}\).**