Диагональ осевого сечения равна 6√2 и составляет с основанием угол 45° . найди площадь полной поверхности цилиндра
Давайте разберем задачу пошагово и подробно объясним все этапы.
Дано:
- Диагональ осевого сечения цилиндра равна \(6\sqrt{2}\).
- Угол между осью цилиндра и образующей (или осевым сечением) равен \(45^\circ\).
Найти: площадь полной поверхности цилиндра.
Шаг 1: Визуализация и понимание задачи
Цилиндр — это тело, чья ось — это линия, соединяющая центры оснований, и у нас есть информация о его сечениях и углах.
- Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, одна из диагоналей которого дана.
- Угол между осью и образующей (или сечением, проходящим по боковой поверхности) равен 45°.
Шаг 2: Что такое "диагональ осевого сечения"?
- Осевое сечение — это сечение, проходящее через ось цилиндра, обычно — прямоугольник.
- Диагональ этого прямоугольника равна \(6\sqrt{2}\).
Обозначим:
- Высота цилиндра — \(h\).
- Радиус основания — \(r\).
Тогда диагональ осевого сечения — это гипотенуза прямоугольника с катетами:
- высотой \(h\),
- и длиной, связанной с радиусом \(r\).
Шаг 3: Связь диагонали с высотой и радиусом
Если мы нарисуем осевое сечение, то оно — прямоугольник:
- Одна сторона — это высота \(h\).
- Другая сторона — это длина, связанная с радиусом.
Поскольку диагональ равна \(6\sqrt{2}\), по теореме Пифагора: \[ d = \sqrt{h^2 + (2r)^2} \] (здесь \(2r\) — диаметр, потому что осевое сечение включает радиус по вертикали и радиус по горизонтали, или же проще — в зависимости от ориентации — предположим, что диагональ — это диагональ прямоугольника с сторонами \(h\) и \(2r\).)
Шаг 4: Взаимосвязь со светоотсечением
Знаем угол \(45^\circ\) между осью и образующей.
- В цилиндре угол между осью и образующей связан с радиусом и высотой.
Обозначим:
- \(\theta = 45^\circ\),
- Тогда \(\tan \theta = 1\).
В цилиндре, где \(h\) — высота, а \(l\) — образующая (боковая ребро цилиндра), есть соотношение: \[ \tan \theta = \frac{r}{h} \] (так как радиус и высота образуют прямой угол на наклонной).
Поскольку \(\tan 45^\circ = 1\): \[ r = h \]
Итак, радиус равен высоте: \(r = h\).
Шаг 5: Найти высоту и радиус через диагональ
Вернемся к осевому сечению. В прямоугольнике диагональ равна \(6 \sqrt{2}\): \[ d = \sqrt{h^2 + (2r)^2} \] и мы знаем, что \(r = h\), тогда: \[ d = \sqrt{h^2 + (2h)^2} = \sqrt{h^2 + 4h^2} = \sqrt{5h^2} = h\sqrt{5} \]
По условию: \[ d = 6\sqrt{2} \] следовательно: \[ h \sqrt{5} = 6 \sqrt{2} \]
Решим для \(h\): \[ h = \frac{6 \sqrt{2}}{\sqrt{5}} \]
и так как \(r = h\): \[ r = \frac{6 \sqrt{2}}{\sqrt{5}} \]
Шаг 6: Вычисление радиуса и высоты
Чтобы упростить выражение для площади, можно оставить так или вычислить приблизительно.
Рассчитаем \(r\):
\[ r = \frac{6 \sqrt{2}}{\sqrt{5}} = 6 \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = 6 \sqrt{\frac{2}{5}} \]
Шаг 7: Площадь полной поверхности цилиндра
Площадь полной поверхности: \[ S = 2\pi r^2 + 2\pi r h \]
- \(2\pi r^2\) — площадь двух оснований,
- \(2\pi r h\) — боковая поверхность.
Так как \(r = h\), то: \[ S = 2\pi r^2 + 2\pi r \cdot r = 2\pi r^2 + 2\pi r^2 = 4\pi r^2 \]
Теперь подставим \(r = 6 \sqrt{\frac{2}{5}}\):
\[ r^2 = \left(6 \sqrt{\frac{2}{5}}\right)^2 = 36 \cdot \frac{2}{5} = \frac{72}{5} \]
Следовательно: \[ S = 4\pi \times \frac{72}{5} = \frac{288\pi}{5} \]
Ответ:
Площадь полной поверхности цилиндра равна \(\displaystyle \frac{288\pi}{5}\).
