При каких значениях параметра a один из корней квадратного уравнения (a^2-5a+3)x^2+(3a-1)x+2=0 в два раза больше другого?

Давайте подробно разберём задачу. Нам нужно найти такие значения параметра \( a \), при которых один из корней квадратного уравнения является в два раза больше другого. **Шаг 1: Запишем уравнение** Дано: \[ (a^2 - 5a + 3) x^2 + (3a - 1) x + 2 = 0 \] Обозначим коэффициенты: - \( A = a^2 - 5a + 3 \) - \( B = 3a - 1 \) - \( C = 2 \) --- **Шаг 2: Свойства корней** Пусть корни этого уравнения — \( x_1 \) и \( x_2 \). Задача: один корень — в два раза больше другого, т.е. либо: \[ x_2 = 2 x_1 \] или \[ x_1 = 2 x_2 \] Рассмотрим первый случай: \( x_2 = 2 x_1 \). Поскольку свойства корней связаны с коэффициентами уравнения, используем формулы Виета: \[ x_1 + x_2 = -\frac{B}{A} \] \[ x_1 x_2 = \frac{C}{A} \] **Шаг 3: Вставим условие \( x_2 = 2 x_1 \)** Тогда: \[ x_1 + 2 x_1 = -\frac{B}{A} \quad \Rightarrow \quad 3 x_1 = -\frac{B}{A} \] \[ x_1 x_2 = x_1 \cdot 2 x_1 = 2 x_1^2 = \frac{C}{A} \] Из первого уравнения: \[ x_1 = -\frac{B}{3A} \] Из второго: \[ 2 x_1^2 = \frac{C}{A} \quad \Rightarrow \quad x_1^2 = \frac{C}{2A} \] Подставим \( x_1 \): \[ \left( -\frac{B}{3A} \right)^2 = \frac{C}{2A} \] или \[ \frac{B^2}{9A^2} = \frac{C}{2A} \] Вырежем \( A \) из обеих частей (учитывая, что \( A \neq 0 \)): \[ \frac{B^2}{9A^2} = \frac{C}{2A} \] Перемножим обе части на \( 9A^2 \): \[ B^2 = \frac{C}{2A} \times 9A^2 = 9A^2 \times \frac{C}{2A} = \frac{9A^2 C}{2A} = \frac{9A C}{2} \] Итак, получаем условие: \[ B^2 = \frac{9 A C}{2} \] --- **Шаг 4: Подставим выражения \( A, B, C \)** \[ A = a^2 - 5a + 3 \] \[ B = 3a - 1 \] \[ C = 2 \] Подставим в условие: \[ (3a - 1)^2 = \frac{9 (a^2 - 5a + 3) \times 2}{2} \] Обозначим: \[ (3a - 1)^2 = 9(a^2 - 5a + 3) \] Рассчитаем обе части: Левая часть: \[ (3a - 1)^2 = 9a^2 - 6a + 1 \] Правая часть: \[ 9(a^2 - 5a + 3) = 9a^2 - 45a + 27 \] **Шаг 5: Получим уравнение** \[ 9a^2 - 6a + 1 = 9a^2 - 45a + 27 \] Отнимем \( 9a^2 \) с обеих сторон: \[ -6a + 1 = -45a + 27 \] Перенесем все в левую сторону: \[ -6a + 1 + 45a - 27 = 0 \] Объединим подобные: \[ 39a - 26 = 0 \] Решаем: \[ 39a = 26 \quad \Rightarrow \quad a = \frac{26}{39} = \frac{2}{3} \] --- **Шаг 6: Проверка** Получили \( a = \frac{2}{3} \). Нужно еще убедиться, что при этом коэффициент \( A \neq 0 \), иначе у нас получится уравнение меньшей степени, и условие на корни не будет иметь смысла. Проверим \( A \): \[ A = a^2 - 5a + 3 \] Подставим \( a = \frac{2}{3} \): \[ A = \left( \frac{2}{3} \right)^2 - 5 \times \frac{2}{3} + 3 = \frac{4}{9} - \frac{10}{3} + 3 \] Выразим все с общим знаменателем 9: \[ A = \frac{4}{9} - \frac{10 \times 3}{9} + \frac{3 \times 9}{9} = \frac{4}{9} - \frac{30}{9} + \frac{27}{9} = \frac{4 - 30 + 27}{9} = \frac{1}{9} \] Это не равно нулю, значит, коэффициент \( A \neq 0 \), условие выполнено. --- ****Итог:** **Когда \( a = \frac{2}{3} \), один из корней уравнения в два раза больше другого.** --- **Ответ:** **\(\boxed{a = \frac{2}{3}}\)**