При каких значениях параметра a один из корней квадратного уравнения (a^2-5a+3)x^2+(3a-1)x+2=0 в два раза больше другого?
Давайте подробно разберём задачу. Нам нужно найти такие значения параметра \( a \), при которых один из корней квадратного уравнения является в два раза больше другого.
Шаг 1: Запишем уравнение
Дано: \[ (a^2 - 5a + 3) x^2 + (3a - 1) x + 2 = 0 \]
Обозначим коэффициенты:
- \( A = a^2 - 5a + 3 \)
- \( B = 3a - 1 \)
- \( C = 2 \)
Шаг 2: Свойства корней
Пусть корни этого уравнения — \( x_1 \) и \( x_2 \).
Задача: один корень — в два раза больше другого, т.е. либо: \[ x_2 = 2 x_1 \] или \[ x_1 = 2 x_2 \]
Рассмотрим первый случай: \( x_2 = 2 x_1 \).
Поскольку свойства корней связаны с коэффициентами уравнения, используем формулы Виета:
\[ x_1 + x_2 = -\frac{B}{A} \] \[ x_1 x_2 = \frac{C}{A} \]
Шаг 3: Вставим условие \( x_2 = 2 x_1 \)
Тогда:
\[ x_1 + 2 x_1 = -\frac{B}{A} \quad \Rightarrow \quad 3 x_1 = -\frac{B}{A} \] \[ x_1 x_2 = x_1 \cdot 2 x_1 = 2 x_1^2 = \frac{C}{A} \]
Из первого уравнения:
\[ x_1 = -\frac{B}{3A} \]
Из второго:
\[ 2 x_1^2 = \frac{C}{A} \quad \Rightarrow \quad x_1^2 = \frac{C}{2A} \]
Подставим \( x_1 \):
\[ \left( -\frac{B}{3A} \right)^2 = \frac{C}{2A} \]
или
\[ \frac{B^2}{9A^2} = \frac{C}{2A} \]
Вырежем \( A \) из обеих частей (учитывая, что \( A \neq 0 \)):
\[ \frac{B^2}{9A^2} = \frac{C}{2A} \]
Перемножим обе части на \( 9A^2 \):
\[ B^2 = \frac{C}{2A} \times 9A^2 = 9A^2 \times \frac{C}{2A} = \frac{9A^2 C}{2A} = \frac{9A C}{2} \]
Итак, получаем условие:
\[ B^2 = \frac{9 A C}{2} \]
Шаг 4: Подставим выражения \( A, B, C \)
\[ A = a^2 - 5a + 3 \] \[ B = 3a - 1 \] \[ C = 2 \]
Подставим в условие:
\[ (3a - 1)^2 = \frac{9 (a^2 - 5a + 3) \times 2}{2} \]
Обозначим:
\[ (3a - 1)^2 = 9(a^2 - 5a + 3) \]
Рассчитаем обе части:
Левая часть:
\[ (3a - 1)^2 = 9a^2 - 6a + 1 \]
Правая часть:
\[ 9(a^2 - 5a + 3) = 9a^2 - 45a + 27 \]
Шаг 5: Получим уравнение
\[ 9a^2 - 6a + 1 = 9a^2 - 45a + 27 \]
Отнимем \( 9a^2 \) с обеих сторон:
\[ -6a + 1 = -45a + 27 \]
Перенесем все в левую сторону:
\[ -6a + 1 + 45a - 27 = 0 \]
Объединим подобные:
\[ 39a - 26 = 0 \]
Решаем:
\[ 39a = 26 \quad \Rightarrow \quad a = \frac{26}{39} = \frac{2}{3} \]
Шаг 6: Проверка
Получили \( a = \frac{2}{3} \). Нужно еще убедиться, что при этом коэффициент \( A \neq 0 \), иначе у нас получится уравнение меньшей степени, и условие на корни не будет иметь смысла.
Проверим \( A \):
\[ A = a^2 - 5a + 3 \] Подставим \( a = \frac{2}{3} \):
\[ A = \left( \frac{2}{3} \right)^2 - 5 \times \frac{2}{3} + 3 = \frac{4}{9} - \frac{10}{3} + 3 \]
Выразим все с общим знаменателем 9:
\[ A = \frac{4}{9} - \frac{10 \times 3}{9} + \frac{3 \times 9}{9} = \frac{4}{9} - \frac{30}{9} + \frac{27}{9} = \frac{4 - 30 + 27}{9} = \frac{1}{9} \]
Это не равно нулю, значит, коэффициент \( A \neq 0 \), условие выполнено.
**Итог:
Когда \( a = \frac{2}{3} \), один из корней уравнения в два раза больше другого.
Ответ:
\(\boxed{a = \frac{2}{3}}\)
