х^2-64>0
Рассмотрим неравенство:
\[ x^2 - 64 > 0 \]
Цель — понять решение и объяснить его подробно.
Шаг 1: Приведение уравнения к более удобной форме
Обрати внимание, что \(x^2 - 64\) — это разность квадратов, поскольку:
\[ x^2 - 64 = x^2 - 8^2 \]
Это классическая разность квадратов, которую можно разложить по формуле:
\[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \]
Значит,
\[ x^2 - 64 = (x - 8)(x + 8) \]
Шаг 2: Запись неравенства
Подставляем разложение:
\[ (x - 8)(x + 8) > 0 \]
Теперь надо определить, при каких значениях \(x\) произведение двух множителей больше нуля.
Шаг 3: Анализ знаков множителей
На числовой оси у нас есть точки:
- \(x = -8\)
- \(x = 8\)
Эти точки разбивают числовую ось на три интервала:
- \(x < -8\)
- \(-8 < x < 8\)
- \(x > 8\)
Рассмотрим каждый интервал и знак каждого множителя:
Интервал \(x < -8\):
- \(x - 8 < 0\) (так как \(x\) меньше \(-8\))
- \(x + 8 < 0\)
Поэтому:
\[ (x - 8) < 0, \quad (x + 8) < 0 \]
В произведении две отрицательные величины дают положительный результат:
\[ (x - 8)(x + 8) > 0 \]
Таким образом, на этом интервале неравенство выполняется.
Интервал \(-8 < x < 8\):
- \(x - 8 < 0\) (так как \(x < 8\))
- \(x + 8 > 0\) (так как \(x > -8\))
Тогда:
\[ (x - 8) < 0, \quad (x + 8) > 0 \]
Произведение отрицательного и положительного чисел — отрицательное:
\[ (x - 8)(x + 8) < 0 \]
Значит, в этом интервале неравенство не выполняется.
Интервал \(x > 8\):
- \(x - 8 > 0\)
- \(x + 8 > 0\)
Произведение двух положительных чисел — положительное:
\[ (x - 8)(x + 8) > 0 \]
На этом интервале неравенство выполняется.
Шаг 4: Итог
Неравенство \(x^2 - 64 > 0\) выполняется при:
\[ x < -8 \quad \text{или} \quad x > 8 \]
Иными словами, решение — это два интервала:
\[ (-\infty, -8) \cup (8, +\infty) \]
Ответ:
\[ \boxed{ x \in (-\infty, -8) \cup (8, +\infty) } \]
Если нужно, я могу помочь с графиком или объяснить более подробно!
