Х^2-64>0

Рассмотрим неравенство: \[ x^2 - 64 > 0 \] Цель — понять решение и объяснить его подробно. ### Шаг 1: Приведение уравнения к более удобной форме Обрати внимание, что \(x^2 - 64\) — это разность квадратов, поскольку: \[ x^2 - 64 = x^2 - 8^2 \] Это классическая разность квадратов, которую можно разложить по формуле: \[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \] Значит, \[ x^2 - 64 = (x - 8)(x + 8) \] ### Шаг 2: Запись неравенства Подставляем разложение: \[ (x - 8)(x + 8) > 0 \] Теперь надо определить, при каких значениях \(x\) произведение двух множителей больше нуля. ### Шаг 3: Анализ знаков множителей На числовой оси у нас есть точки: - \(x = -8\) - \(x = 8\) Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: - \(x < -8\) - \(-8 < x < 8\) - \(x > 8\) Рассмотрим каждый интервал и знак каждого множителя: 1. **Интервал \(x < -8\):** - \(x - 8 < 0\) (так как \(x\) меньше \(-8\)) - \(x + 8 < 0\) Поэтому: \[ (x - 8) < 0, \quad (x + 8) < 0 \] В произведении две отрицательные величины дают положительный результат: \[ (x - 8)(x + 8) > 0 \] Таким образом, **на этом интервале неравенство выполняется**. 2. **Интервал \(-8 < x < 8\):** - \(x - 8 < 0\) (так как \(x < 8\)) - \(x + 8 > 0\) (так как \(x > -8\)) Тогда: \[ (x - 8) < 0, \quad (x + 8) > 0 \] Произведение отрицательного и положительного чисел — отрицательное: \[ (x - 8)(x + 8) < 0 \] Значит, в этом интервале неравенство **не выполняется**. 3. **Интервал \(x > 8\):** - \(x - 8 > 0\) - \(x + 8 > 0\) Произведение двух положительных чисел — положительное: \[ (x - 8)(x + 8) > 0 \] **На этом интервале неравенство выполняется**. ### Шаг 4: Итог Неравенство \(x^2 - 64 > 0\) выполняется при: \[ x < -8 \quad \text{или} \quad x > 8 \] Иными словами, решение — это два интервала: \[ (-\infty, -8) \cup (8, +\infty) \] ### Ответ: \[ \boxed{ x \in (-\infty, -8) \cup (8, +\infty) } \] Если нужно, я могу помочь с графиком или объяснить более подробно!