Конечно! Давайте подробно решим оба интеграла, чтобы вы могли понять каждый шаг.
Первый интеграл: (\int (4e^{x} + 5 \sin x) , dx)
Шаг 1: Разделение интеграла
[
\int (4e^{x} + 5 \sin x) , dx = \int 4e^{x} , dx + \int 5 \sin x , dx
]
Шаг 2: Решение каждого интеграла по отдельности
Для (\int 4e^{x} , dx):
Так как интеграл (e^{x}) равен (e^{x}), а коэффициент 4 остается при умножении,
[
\int 4e^{x} , dx = 4 \int e^{x} , dx = 4e^{x} + C_1
]
Для (\int 5 \sin x , dx):
Множитель 5 вынесем за знак интеграла:
[
5 \int \sin x , dx
]
Известно, что (\int \sin x , dx = - \cos x + C), поэтому,
[
5 \int \sin x , dx = 5(- \cos x) = -5 \cos x + C_2
]
Шаг 3: Итоговое решение
Объединяем оба результата
[
\boxed{
\int (4e^{x} + 5 \sin x) , dx = 4e^{x} - 5 \cos x + C }
]
где (C) — произвольная постоянная.
Второй интеграл: (\int (5x^3 + 2)(x - 1) , dx)
Шаг 1: Раскроем скобки
Перемножим ((5x^3 + 2)(x - 1)):
[
(5x^3 + 2)(x - 1) = 5x^3 \cdot x - 5x^3 \cdot 1 + 2 \cdot x - 2 \cdot 1
]
[
= 5x^4 - 5x^3 + 2x - 2
]
Шаг 2: Записываем интеграл
[
\int (5x^4 - 5x^3 + 2x - 2) , dx
]
Шаг 3: Решение каждого слагаемого
- (\int 5x^4 , dx = 5 \int x^4 , dx = 5 \cdot \frac{x^{5}}{5} = x^{5})
- (\int -5x^3 , dx = -5 \int x^3 , dx = -5 \cdot \frac{x^{4}}{4} = -\frac{5}{4} x^{4})
- (\int 2x , dx = 2 \int x , dx = 2 \cdot \frac{x^{2}}{2} = x^{2})
- (\int -2 , dx = -2x)
Шаг 4: Итоговое решение
Объединяем все результаты:
[
\boxed{
\int (5x^4 - 5x^3 + 2x - 2) , dx = x^{5} - \frac{5}{4}x^{4} + x^{2} - 2x + C
}
]
Если что-то осталось непонятным или нужны дополнительные объяснения — скажите!
