Условие: интегрирование тригонометрических выражений. Решить примеры 1) интеграл (4 е в степени х+5 sinx) dx 2) интеграл ( 5 x в степени 3+2) × (x-1) dx

Конечно! Давайте подробно решим оба интеграла, чтобы вы могли понять каждый шаг.

Первый интеграл: \(\int (4e^{x} + 5 \sin x) \, dx\)

Шаг 1: Разделение интеграла

\[ \int (4e^{x} + 5 \sin x) \, dx = \int 4e^{x} \, dx + \int 5 \sin x \, dx \]

Шаг 2: Решение каждого интеграла по отдельности

• Для \(\int 4e^{x} \, dx\):

  Так как интеграл \(e^{x}\) равен \(e^{x}\), а коэффициент 4 остается при умножении,

  \[ \int 4e^{x} \, dx = 4 \int e^{x} \, dx = 4e^{x} + C_1 \]

• Для \(\int 5 \sin x \, dx\):

  Множитель 5 вынесем за знак интеграла:

  \[ 5 \int \sin x \, dx \]

  Известно, что \(\int \sin x \, dx = - \cos x + C\), поэтому,

  \[ 5 \int \sin x \, dx = 5(- \cos x) = -5 \cos x + C_2 \]

Шаг 3: Итоговое решение

Объединяем оба результата

\[ \boxed{ \int (4e^{x} + 5 \sin x) \, dx = 4e^{x} - 5 \cos x + C } \]

где \(C\) — произвольная постоянная.

Второй интеграл: \(\int (5x^3 + 2)(x - 1) \, dx\)

Шаг 1: Раскроем скобки

Перемножим \((5x^3 + 2)(x - 1)\):

\[ (5x^3 + 2)(x - 1) = 5x^3 \cdot x - 5x^3 \cdot 1 + 2 \cdot x - 2 \cdot 1 \]

\[ = 5x^4 - 5x^3 + 2x - 2 \]

Шаг 2: Записываем интеграл

\[ \int (5x^4 - 5x^3 + 2x - 2) \, dx \]

Шаг 3: Решение каждого слагаемого

• \(\int 5x^4 \, dx = 5 \int x^4 \, dx = 5 \cdot \frac{x^{5}}{5} = x^{5}\)
• \(\int -5x^3 \, dx = -5 \int x^3 \, dx = -5 \cdot \frac{x^{4}}{4} = -\frac{5}{4} x^{4}\)
• \(\int 2x \, dx = 2 \int x \, dx = 2 \cdot \frac{x^{2}}{2} = x^{2}\)
• \(\int -2 \, dx = -2x\)

Шаг 4: Итоговое решение

Объединяем все результаты:

\[ \boxed{ \int (5x^4 - 5x^3 + 2x - 2) \, dx = x^{5} - \frac{5}{4}x^{4} + x^{2} - 2x + C } \]

Если что-то осталось непонятным или нужны дополнительные объяснения — скажите!