Давайте решим задачу пошагово и подробно объясним каждый этап.
Дано:
- Основание — прямоугольный треугольник с катетами: ( а = 20 , \см ), ( b = 21 , \см )
- Высота бокового ребра (высота призмы) — ( h_{бок} = 42 , \см )
- Нужно найти полную поверхность призмы.
1. Найдём гипотенузу прямоугольного треугольника — сторону основания
Используем теорему Пифагора:
[
c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{20^2 + 21^2} = \sqrt{400 + 441} = \sqrt{841} = 29 , \см
]
2. Площадь основания призмы
Основание — прямоугольный треугольник, его площадь:
[
S_{осн} = \frac{1}{2} a b = \frac{1}{2} \times 20 \times 21 = 10 \times 21 = 210 , \см^2
]
3. Найдём периметр основания
Чтобы найти площадь боковых сторон, нам нужно периметр основания:
[
P_{осн} = a + b + c = 20 + 21 + 29 = 70 , \см
]
4. Площадь боковых граней
Призма имеет три боковых поверхности — трапециевидных или прямоугольных, связанные с ребрами основания и высотой призмы.
Каждая боковая поверхность — это Rectangle, площадь которой равна произведению соответствующего ребра основания на высоту призмы ((h = 42 , \см)):
- Боковая грань, прилегающая к катету (a):
Площадь:
[
S_{бок1} = a \times h = 20 \times 42 = 840 , \см^2
]
- Боковая грань, прилегающая к катету (b):
Площадь:
[
S_{бок2} = b \times h = 21 \times 42 = 882 , \см^2
]
- Боковая грань, прилегающая к гипотенузе (c):
Площадь:
[
S_{бок3} = c \times h = 29 \times 42 = 1218 , \см^2
]
5. Полная поверхность призмы
Полная поверхность — это сумма площади двух оснований и трех боковых граней:
[
S_{полн} = 2 \times S_{осн} + S_{бок1} + S_{бок2} + S_{бок3}
]
Подставим значения:
[
S_{полн} = 2 \times 210 + 840 + 882 + 1218
]
[
S_{полн} = 420 + 840 + 882 + 1218
]
Сложим:
[
420 + 840 = 1260
]
[
1260 + 882 = 2142
]
[
2142 + 1218 = 3360
]
Ответ:
Полная поверхность призмы составляет (\boxed{3360 , \см^2}).
Если есть дополнительные вопросы или нужна более подробная разбивка, я готов помочь!
