Давайте подробно разберем задачу и найдем площадь фигуры, ограниченной линиями: у = x², x = 2 и осью Ox.
Шаг 1. Определение границ области
Область ограничена:
- графиком функции ( y = x^2 ),
- вертикальной прямой ( x = 2 ),
- осью Ox (то есть линией ( y=0 )).
Чтобы найти площадь этой области, нужно понять её границы:
- по горизонтальной оси — ( y=0 ),
- по вертикальной — от ( x=0 ) (пересечение графика с осью Ox, так как ( x^2=0 \Rightarrow x=0 )),
- до ( x=2 ).
Область — это фигурка под параболой ( y=x^2 ), ограниченная по оси ( x ) (от 0 до 2), и по оси ( y ) — от 0 до значения функции.
Шаг 2. Запись условия площади
Площадь можно найти, интегрируя функцию ( y=x^2 ) по ( x ) от 0 до 2:
[
S = \int_{0}^{2} x^2, dx
]
Это представляет собой площадь под графиком функции на указанном интервале.
Шаг 3. Вычисление интеграла
Вычислим интеграл:
[
\int x^2, dx = \frac{x^3}{3} + C
]
Поэтому,
[
S = \left. \frac{x^3}{3} \right|_{0}^{2}
]
Подставим границы:
[
S = \frac{(2)^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3}
]
Ответ:
Площадь фигуры, ограниченной линиями ( y=x^2 ), ( x=2 ) и осью Ox, равна (\boxed{\frac{8}{3}}).
