Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: у = x² , х = 2 и осью ОX
Давайте подробно разберем задачу и найдем площадь фигуры, ограниченной линиями: у = x², x = 2 и осью Ox.
Шаг 1. Определение границ области
Область ограничена:
- графиком функции \( y = x^2 \),
- вертикальной прямой \( x = 2 \),
- осью Ox (то есть линией \( y=0 \)).
Чтобы найти площадь этой области, нужно понять её границы:
- по горизонтальной оси — \( y=0 \),
- по вертикальной — от \( x=0 \) (пересечение графика с осью Ox, так как \( x^2=0 \Rightarrow x=0 \)),
- до \( x=2 \).
Область — это фигурка под параболой \( y=x^2 \), ограниченная по оси \( x \) (от 0 до 2), и по оси \( y \) — от 0 до значения функции.
Шаг 2. Запись условия площади
Площадь можно найти, интегрируя функцию \( y=x^2 \) по \( x \) от 0 до 2:
\[ S = \int_{0}^{2} x^2\, dx \]
Это представляет собой площадь под графиком функции на указанном интервале.
Шаг 3. Вычисление интеграла
Вычислим интеграл:
\[ \int x^2\, dx = \frac{x^3}{3} + C \]
Поэтому,
\[ S = \left. \frac{x^3}{3} \right|_{0}^{2} \]
Подставим границы:
\[ S = \frac{(2)^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3} \]
Ответ:
Площадь фигуры, ограниченной линиями \( y=x^2 \), \( x=2 \) и осью Ox, равна \(\boxed{\frac{8}{3}}\).
