Решить 4-5 номера
Конечно! Вот подробное решение для первых четырех задач:
1. Найдите область определения и множество значений функции \( y = 0.5 \cos x \).
Область определения:
- Косинус — это функция, определённая на всей числовой прямой \(\mathbb{R}\).
- Умножение на число и постоянное значение никак не ограничивают область определения.
Ответ:
\(\boxed{\text{Область определения: } (-\infty; +\infty)}\)
Множество значений:
- Значение \(\cos x\) — всегда в интервале \([-1,1]\).
- Умножение на \(0.5\) — значит, что значение функции попадает в интервал \([-0.5, 0.5]\).
Ответ:
\(\boxed{\text{Множество значений: } [-0.5, 0.5]}\)
2. Выяснить, является ли функция \( y = \cos x - x^2 \) чётной или нечётной.
Определения:
- Функция называется чётной, если \(f(-x) = f(x)\).
- Функция называется нечётной, если \(f(-x) = -f(x)\).
Проверка:
\[ f(-x) = \cos(-x) - (-x)^2 = \cos x - x^2 \]
- Так как \(\cos\) — чётная функция, \(\cos(-x) = \cos x\),
- А \( (-x)^2 = x^2 \), то есть функция равна исходной:
\[ f(-x) = \cos x - x^2 = f(x) \]
Вывод:
Функция \( y = \cos x - x^2 \) является чётной.
3. Найдите экстремумы функции \( y = 2 \cos \frac{x}{2} \).
Шаги:
- Находим производную функции:
\[ y = 2 \cos \frac{x}{2} \]
\[ y' = 2 \cdot \left( - \sin \frac{x}{2} \right) \cdot \frac{1}{2} = - \sin \frac{x}{2} \]
- Обнуляем производную для поиска точек экстремума:
\[ - \sin \frac{x}{2} = 0 \Rightarrow \sin \frac{x}{2} = 0 \]
- Решаем:
\[ \frac{x}{2} = k \pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
\[ x = 2k\pi \]
Ответ:
Экстремумы находятся при
\[ \boxed{x = 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}} \]
4. Исследуйте функцию \( y = \frac{3x}{x^2 - 1} \).
Шаги:
- Область определения:
- Знаменатель не может равняться нулю:
\[ x^2 - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 1 \]
Область определения:
\[ \boxed{(-\infty, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, \infty)} \]
Исследуем поведение функции и ищем экстремумы и точки возрастания/убывания.
Производная функции для анализа:
\[ y = \frac{3x}{x^2 - 1} \]
Используем правило дифференцирования дроби:
\[ y' = \frac{(3)(x^2 - 1) - 3x \cdot 2x}{(x^2 - 1)^2} = \frac{3x^2 - 3 - 6x^2}{(x^2 - 1)^2} = \frac{-3x^2 - 3}{(x^2 - 1)^2} \]
- Анализ знака производной:
- Знак числителя:
\[ -3x^2 - 3 = -3 (x^2 + 1) \]
Так как \(x^2 + 1 > 0\) для всех \(x\), числитель всегда отрицателен.
Знак дроби зависит только от знаменателя:
\[ (x^2 - 1)^2 > 0 \quad \text{для} \quad x \neq \pm 1 \]
- Следовательно:
\[ y' < 0 \quad \text{для всех допустимых} x \]
Заключение:
- Функция монотонно убывает на всей области определения.
Если понадобится что-то дополнительно — обращайтесь!
