Решить 4-5 номера

Конечно! Вот подробное решение для первых четырех задач: --- ### 1. Найдите область определения и множество значений функции \( y = 0.5 \cos x \). **Область определения:** - Косинус — это функция, определённая на всей числовой прямой \(\mathbb{R}\). - Умножение на число и постоянное значение никак не ограничивают область определения. **Ответ:** \(\boxed{\text{Область определения: } (-\infty; +\infty)}\) --- **Множество значений:** - Значение \(\cos x\) — всегда в интервале \([-1,1]\). - Умножение на \(0.5\) — значит, что значение функции попадает в интервал \([-0.5, 0.5]\). **Ответ:** \(\boxed{\text{Множество значений: } [-0.5, 0.5]}\) --- ### 2. Выяснить, является ли функция \( y = \cos x - x^2 \) чётной или нечётной. **Определения:** - Функция называется **чётной**, если \(f(-x) = f(x)\). - Функция называется **нечётной**, если \(f(-x) = -f(x)\). **Проверка:** \[ f(-x) = \cos(-x) - (-x)^2 = \cos x - x^2 \] - Так как \(\cos\) — чётная функция, \(\cos(-x) = \cos x\), - А \( (-x)^2 = x^2 \), то есть функция равна исходной: \[ f(-x) = \cos x - x^2 = f(x) \] **Вывод:** Функция \( y = \cos x - x^2 \) является **чётной**. --- ### 3. Найдите экстремумы функции \( y = 2 \cos \frac{x}{2} \). **Шаги:** 1. Находим производную функции: \[ y = 2 \cos \frac{x}{2} \] \[ y' = 2 \cdot \left( - \sin \frac{x}{2} \right) \cdot \frac{1}{2} = - \sin \frac{x}{2} \] 2. Обнуляем производную для поиска точек экстремума: \[ - \sin \frac{x}{2} = 0 \Rightarrow \sin \frac{x}{2} = 0 \] 3. Решаем: \[ \frac{x}{2} = k \pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ x = 2k\pi \] **Ответ:** Экстремумы находятся при \[ \boxed{x = 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}} \] --- ### 4. Исследуйте функцию \( y = \frac{3x}{x^2 - 1} \). **Шаги:** 1. Область определения: - Знаменатель не может равняться нулю: \[ x^2 - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 1 \] **Область определения:** \[ \boxed{(-\infty, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, \infty)} \] 2. Исследуем поведение функции и ищем экстремумы и точки возрастания/убывания. 3. Производная функции для анализа: \[ y = \frac{3x}{x^2 - 1} \] Используем правило дифференцирования дроби: \[ y' = \frac{(3)(x^2 - 1) - 3x \cdot 2x}{(x^2 - 1)^2} = \frac{3x^2 - 3 - 6x^2}{(x^2 - 1)^2} = \frac{-3x^2 - 3}{(x^2 - 1)^2} \] 4. Анализ знака производной: - Знак числителя: \[ -3x^2 - 3 = -3 (x^2 + 1) \] - Так как \(x^2 + 1 > 0\) для всех \(x\), числитель всегда отрицателен. - Знак дроби зависит только от знаменателя: \[ (x^2 - 1)^2 > 0 \quad \text{для} \quad x \neq \pm 1 \] - Следовательно: \[ y' < 0 \quad \text{для всех допустимых} x \] **Заключение:** - Функция монотонно убывает на всей области определения. --- Если понадобится что-то дополнительно — обращайтесь!