Прямоугольник со сторонами √2/π см и 1 см вращается вокруг большей стороны. Найдите объём полученной фигуры вращения
Давайте разберём задачу по шагам.
Дано:
- Прямоугольник со сторонами:
- \( a = \frac{\sqrt{2}}{\pi} \) см
- \( b = 1 \) см
- Он вращается вокруг более длинной стороны (то есть, стороны сравниваются, и вращение происходит вокруг той стороны, которая длиннее).
Шаг 1. Определение оси вращения
Сравним стороны:
\[ a = \frac{\sqrt{2}}{\pi} \approx \frac{1.4142}{3.1416} \approx 0.45 \text{ см} \]
\[ b = 1 \text{ см} \]
=> Более длинная сторона: \( b = 1 \text{ см} \)
Следовательно, вращение происходит вокруг стороны длиной 1 см (из стороны \(b\)).
Шаг 2. Виды фигур при вращении
Если вращать прямоугольник вокруг стороны длиной больше стороны — получится образ цилиндра или похоже на цилиндр, поскольку вращается один из малых или больших произведений.
Важный момент: В задаче обычно подразумевается вращение вокруг одной из сторон, и образующаяся фигура — это тело вращения.
Здесь:
- Центр вращения — сторона \( b = 1 \) см
- Другие стороны: \( a = \frac{\sqrt{2}}{\pi} \)
Шаг 3. Обозначения
- Ось вращения: вертикальная (например), вокруг стороны \(b\)
- Радиус: длина другого ребра — это будет радиус основания цилиндра.
Радиус цилиндра — это длина стороны, которая вращается — то есть расстояние от оси вращения (стороны длиной 1 см) до другого краю.
Так как ось вращается вокруг стороны \(b\), и мы вращаем прямоугольник, то радиус цилиндра — это расстояние до края другого ребра.
- Если вращать вокруг стороны \(b\), которая является осью — то радиус равен стороне, перпендикулярной оси — это сторонa \(a\).
Шаг 4. Формула объема тела вращения
Объем тела вращения, образованный вращением фигуры вокруг оси, задаётся формулой:
\[ V = \pi r^2 h \]
где:
- \(r\) — радиус основания цилиндра (расстояние от оси вращения до точки, которая вращается)
- \(h\) — высота (длина оси).
Шаг 5. Вычисление радиуса и высоты
- Ось вращения — это сторона длиной \(b = 1\) см.
- Другие стороны: \(a = \frac{\sqrt{2}}{\pi}\).
Значит:
- Радиус \(r = \text{расстояние от оси до края} = a = \frac{\sqrt{2}}{\pi}\).
- Высота \(h = b = 1\) см.
Шаг 6. Объем
Подставляем:
\[ V = \pi r^2 h = \pi \left( \frac{\sqrt{2}}{\pi} \right)^2 \times 1 \]
Посчитаем внутри скобок:
\[ \left( \frac{\sqrt{2}}{\pi} \right)^2 = \frac{2}{\pi^2} \]
Тогда:
\[ V = \pi \times \frac{2}{\pi^2} \times 1 = \frac{2 \pi}{\pi^2} = \frac{2}{\pi} \]
Ответ:
\[ \boxed{ V = \frac{2}{\pi} \text{ см}^3 } \]
Это объем фигуры вращения, образованной вращением прямоугольника вокруг большей стороны.
