Прямоугольник со сторонами √2/π см и 1 см вращается вокруг большей стороны. Найдите объём полученной фигуры вращения

Давайте разберём задачу по шагам. **Дано:** - Прямоугольник со сторонами: - \( a = \frac{\sqrt{2}}{\pi} \) см - \( b = 1 \) см - Он вращается вокруг **более длинной стороны** (то есть, стороны сравниваются, и вращение происходит вокруг той стороны, которая длиннее). --- ### Шаг 1. Определение оси вращения Сравним стороны: \[ a = \frac{\sqrt{2}}{\pi} \approx \frac{1.4142}{3.1416} \approx 0.45 \text{ см} \] \[ b = 1 \text{ см} \] => **Более длинная сторона:** \( b = 1 \text{ см} \) **Следовательно,** вращение происходит вокруг стороны длиной **1 см** (из стороны \(b\)). --- ### Шаг 2. Виды фигур при вращении - Если вращать прямоугольник вокруг стороны длиной **больше** стороны — получится образ цилиндра или похоже на цилиндр, поскольку вращается один из малых или больших произведений. - **Важный момент:** В задаче обычно подразумевается вращение вокруг одной из сторон, и образующаяся фигура — это тело вращения. Здесь: - Центр вращения — сторона \( b = 1 \) см - Другие стороны: \( a = \frac{\sqrt{2}}{\pi} \) --- ### Шаг 3. Обозначения - Ось вращения: вертикальная (например), вокруг стороны \(b\) - Радиус: длина другого ребра — это будет радиус основания **цилиндра**. **Радиус** цилиндра — это длина стороны, которая вращается — то есть расстояние от оси вращения (стороны длиной 1 см) до другого краю. Так как ось вращается вокруг стороны \(b\), и мы вращаем прямоугольник, то радиус цилиндра — это расстояние до края другого ребра. - Если вращать вокруг стороны \(b\), которая является осью — то радиус равен стороне, перпендикулярной оси — это сторонa \(a\). --- ### Шаг 4. Формула объема тела вращения Объем тела вращения, образованный вращением фигуры вокруг оси, задаётся формулой: \[ V = \pi r^2 h \] где: - \(r\) — радиус основания цилиндра (расстояние от оси вращения до точки, которая вращается) - \(h\) — высота (длина оси). --- ### Шаг 5. Вычисление радиуса и высоты - Ось вращения — это сторона длиной \(b = 1\) см. - Другие стороны: \(a = \frac{\sqrt{2}}{\pi}\). **Значит:** - Радиус \(r = \text{расстояние от оси до края} = a = \frac{\sqrt{2}}{\pi}\). - Высота \(h = b = 1\) см. --- ### Шаг 6. Объем Подставляем: \[ V = \pi r^2 h = \pi \left( \frac{\sqrt{2}}{\pi} \right)^2 \times 1 \] Посчитаем внутри скобок: \[ \left( \frac{\sqrt{2}}{\pi} \right)^2 = \frac{2}{\pi^2} \] Тогда: \[ V = \pi \times \frac{2}{\pi^2} \times 1 = \frac{2 \pi}{\pi^2} = \frac{2}{\pi} \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ V = \frac{2}{\pi} \text{ см}^3 } \] Это объем фигуры вращения, образованной вращением прямоугольника вокруг большей стороны.