5. В комнате 10 гирлянд из цветных лампочек. Все рабочие, каждая из них может быть либо включена, либо выключена. Илья сказал: «В этой комнате есть 5 включённых гирлянд». Марк ему…

Давайте пошагово разберём задачу и выясним, сколько ламп включено, исходя из условий.

Дано:

• В комнате 10 гирлянд.
• Каждая гирлянда либо включена, либо выключена.
• Четыре утверждения:
  1. Илья: «В комнате 5 включённых гирлянд.»
  2. Марк: «Ты не прав» (относительно утверждения Ильи) - то есть, Илья ошибается.
  3. Марк: «В этой комнате есть три выключенных гирлянд.»
  4. Ваня: «Включено чётное число гирлянд.»

Известно, что только одно из этих утверждений — верное.

---

Шаг 1: Определим возможные ситуации

Обозначим:

• \( x \) — число включённых гирлянд.
• Тогда число выключенных — \( 10 - x \).

Рассмотрим каждое утверждение и проверим его правдивость при разных значениях \( x \).

---

Шаг 2: Анализ утверждений

Утверждение 1. Илья: «В комнате 5 включённых гирлянд.»

• Верно, если \( x = 5 \).
• Неверно, если \( x \neq 5 \).

Утверждение 2. Марк: «Ты не прав» (по отношению к Илье).

• Это обозначает, что Марк утверждает, что Илья ошибается (то есть, \( x \neq 5 \)).
• Значит, Марк говорит, что число включённых не равно 5.
• Важно уточнить, что утверждение Марка — это о том, что Илья ошибается. Тогда:
  • Если Илья прав — то утверждение Марка неправда.
  • Если Илья неправ — утверждение Марка — правда.

Но в условии говорится, что только одно утверждение — верное. Значит, не может иметь место, что оба — правда.

Утверждение 3. Марк: «В этой комнате есть три выключенные гирлянды.»

• Верно, если \( 10 - x = 3 \Rightarrow x = 7 \).
• Неверно — если \( x \neq 7 \).

Утверждение 4. Ваня: «Включено чётное число гирлянд.»

• Верно, если \( x \) — чётное число.
• Неверно, если \( x \) — нечётное число.

---

Шаг 3: Выявим возможные кандидаты для \( x \), при которых только одно утверждение — верно

Перебираем все возможные значения \( x \) (от 0 до 10) и проверяем условия.

---

Проверка при \( x = 0 \):

• Илья: \( 0 \neq 5 \), значит утверждение №1 — Неверно.
• Марк (3 выключенных): \( 10 - 0 = 10 \neq 3 \), №3 — Неверно.
• Ваня: \( 0 \) — чётное, №4 — Верно.
• Утверждение №2 (Марк: "Ты не прав" по отношению к Илье).
  Илья ошибается (т.к. 0 ≠ 5), значит Марк говорит правду о том, что Илья ошибается — это правда.
  Но замечание: Марк говорил «Ты не прав», — то есть заявил, что Илья ошибается.
  Тогда, чтобы его утверждение было верным — Илья действительно ошибается при \( x=0 \).
  Значит, №2 — верно.

ИТОГ:

• №1 — ОТВЕРГНУТО
• №2 — ВЕРНО (уже одно верное — это допустимо)
• №3 — ОТВЕРГНУТО
• №4 — ВЕРНО (чётное число — правда)

Но по условию, только одно утверждение — верное.
Значит, не может одновременно быть верно №2 и №4.

Следовательно, при \( x=0 \): два утверждения — №2 и №4 — верны, что неправильно.

---

Проверка при \( x=1 \):

• №1: \( 1 \neq 5 \)— неверно.
• №3: \( 10-1=9 \neq 3 \)— неверно.
• №4: \( 1 \) — нечётное — неправда.
• №2: Марк говорит, что Илья ошибается.
  Илья — \( 1 \neq 5 \) — ошибается — №1 — неверно, значит Илья ошибается, и Марк сказал, что Илья ошибается — это правда. Следовательно, №2 — верно.
  Но тогда, №2 — верно, остальные — ложь.
  Проверяем: №1 — ложь, №3 — ложь, №4 — ложь. Всё удовлетворяет условию, что только одно утверждение — верное.

ИТОГ:

• Nº2 — верно
• Остальные — неверны

Это подходит под условие.

---

Проверка при \( x=2 \):

• №1: \( 2 \neq 5 \)— неверно.
• №3: \( 10-2=8 \neq 3 \)— неверно.
• №4: \( 2 \)— чётное — верно.
• №2: Марк говорит, что Илья ошибается. Илья утверждает 5 — а \( 2 \neq 5 \)— он ошибается, значит Марк прав. Тогда №2 — верно, остальные ложь.

Опять два утверждения — №2 и №4 — верны, что не допускается.

---

Аналогично проверим при \( x=3 \):

• №1: \( 3 \neq 5 \)— неверно.
• №3: \( 10-3=7 \neq 3 \)— неверно.
• №4: \( 3 \)— нечётное — неправда.
• №2: Марк говорит, что Илья ошибается — Илья говорит 5 — а \( 3 \neq 5 \)— Илья ошибается — так Марк прав — №2 — верно.

Опять только №2 — верно.

---

Проверка при \( x=4 \):

• №1: неверно.
• №3: неверно.
• №4: \( 4 \)— чётное — верно.
• №2: Илья говорит 5 — \( 4 \neq 5 \), он ошибается, Марк говорит, что он ошибается — значит, №2 — верно.

Два утверждения (№2 и №4) — снова одновременно верны, не подходит.

---

Итог:

• Для \( x=1 \) и \( x=3 \) — только №2 верно, остальные — ложь.
• Для \( x=0 \), \( x=2 \), \( x=4 \) — двое утверждений верных (например, №2 и №4).

---

Вывод:

При вооружённом анализе, единственные ситуации, подходящие под условие — это те, где и только №2 — верно, а остальные ложь.
А это происходит при \( x=1 \) и \( x=3 \).

---

Ответ:

В комнате включено 1 гирлянда или 3 гирлянды.

---

Заключение:

Важно заметить, что из условия — только одно утверждение — верное. Мы нашли два варианта — при \( x=1 \) и \( x=3 \).
В обоих случаях, утверждение Марка (№2) — верное, а утверждение Ильи (№1) — неверное, утверждение Марка о выключенных гирляндах (№3) — неверное, утверждение Вани (№4) — неверное, потому что число не чётное (для \( x=3 \)— нечетное).

ИТОГ: В комнате включено 1 или 3 гирлянды.

---

Финальный ответ:

Ответ: В комнате включено 1 или 3 гирлянды.