Давайте подробно разберем задачу о переходе электрона между уровнями энергии в атоме водорода и определим длину волны излучаемого света.
Шаг 1. Определение энергии перехода
При переходе электрона с более высокого уровня на низкий уровень выделяется энергия, которая излучается в виде света. В нашем случае — переход с 4-го на 1-й уровень.
Важно: Энергии уровней в атоме водорода задаются по формуле:
[
E_n = -\frac{R_H}{n^2}
]
где:
- (E_n) — энергия уровня с номером (n),
- (R_H) — ридберовская постоянная для водорода.
Но, поскольку в условии дана постоянная Планка в эВ·с и нужно найти длину волны, более удобно воспользоваться формулой для энергии фотона:
[
\Delta E = E_1 - E_4
]
и связать ее с длиной волны ( \lambda ) через уравнение:
[
E = \frac{hc}{\lambda}
]
где:
- (h) — постоянная Планка,
- (c) — скорость света,
- (E) — энергия фотона.
Шаг 2. Расчет энергии перехода
Энегрии уровней для водорода:
[
E_n = - \frac{13.6,\text{эВ}}{n^2}
]
поэтому:
[
E_1 = -13.6,\text{эВ}
]
[
E_4 = -\frac{13.6}{4^2} = -\frac{13.6}{16} = -0.85,\text{эВ}
]
Энергия фотоактивного излучения при переходе с уровня 4 на 1:
[
\Delta E = E_1 - E_4 = (-13.6) - (-0.85) = -13.6 + 0.85 = -12.75,\text{эВ}
]
Энергия фотона положительна и равна 12.75 эВ (мы берём абсолютное значение):
[
E_{\text{фотона}} = 12.75,\text{эВ}
]
Шаг 3. Время и длина волны
Теперь, используя формулу связи энергии и длины волны:
[
\lambda = \frac{hc}{E}
]
где:
- (h = 4 \times 10^{-15},\text{эВ·с}),
- (c = 3 \times 10^{8},\text{м/с}),
- (E = 12.75,\text{эВ}).
Подставляем значения:
[
\lambda = \frac{(4 \times 10^{-15},\text{эВ·с}) \times (3 \times 10^{8},\text{м/с})}{12.75,\text{эВ}}
]
В числителе:
[
4 \times 10^{-15} \times 3 \times 10^{8} = 12 \times 10^{-7} = 1.2 \times 10^{-6}
]
Теперь делим:
[
\lambda = \frac{1.2 \times 10^{-6}}{12.75}
]
Рассчитаем:
[
\lambda \approx \frac{1.2 \times 10^{-6}}{12.75} \approx 9.41 \times 10^{-8},\text{м}
]
или, переведя в нанометры:
[
\lambda \approx 94.1,\text{нм}
]
Итог:
Длина волны излучаемого света при переходе электрона с 4-го на 1-й уровень в атоме водорода составляет примерно 94 нм.
Это ультрафиолетовое излучение.
