Найлите площадт фигуры , ограниченной линиями y=3x+4, x=-1,x=2,y=0 мктолом интеграла с рисунком

Понимаю, вы хотите найти площадь фигуры, ограниченной линиями \( y = 3x+4 \), \( x = -1 \), \( x=2 \), и \( y=0 \), с помощью интеграла. Постараюсь дать подробное объяснение. --- ### Шаг 1: Определение границ области Область ограничена: - снизу линией \( y=0 \) (ось x), - слева и справа вертикальными линиями \( x=-1 \) и \( x=2 \), - сверху — линией \( y=3x+4 \). То есть, область — это участок между графиком линии и осью \( x \) на интервале \( x \in [-1, 2] \). --- ### Шаг 2: Проверка графика и расположения линий - Линия \( y=3x+4 \): - при \( x=-1 \): \( y=3 \times (-1)+4=1 \), - при \( x=2 \): \( y=3 \times 2 +4=10 \). Значит, линия поднимается вверх из точки с координатами \((-1,1)\) до \((2,10)\). Область — это область под этой линией и над \( y=0 \), между \( x=-1 \) и \( x=2 \). --- ### Шаг 3: Построение интеграла для площади Площадь фигуры находится через интеграл по переменной \( x \): \[ \text{Площадь} = \int_{x=-1}^{2} (\text{верхняя граница} - \text{нижняя граница})\, dx \] - Верхняя граница — это линия \( y=3x+4 \), - Нижняя граница — это \( y=0 \). Следовательно, \[ S = \int_{-1}^{2} (3x+4 - 0) \, dx = \int_{-1}^{2} (3x+4) \, dx \] --- ### Шаг 4: Вычисление интеграла Вычислим интеграл: \[ S = \int_{-1}^{2} (3x + 4) dx \] Разложим на сумму двух интегралов: \[ S = \int_{-1}^{2} 3x\, dx + \int_{-1}^{2} 4\, dx \] По формулам: - \( \int 3x dx = \frac{3x^2}{2} \), - \( \int 4 dx = 4x \). Теперь подставим пределы: \[ S = \left[\frac{3x^2}{2}\right]_{-1}^{2} + [4x]_{-1}^{2} \] Вычислим по отдельности: 1. \( \left[\frac{3x^2}{2}\right]_{-1}^{2} = \frac{3 \times 2^2}{2} - \frac{3 \times (-1)^2}{2} = \frac{3 \times 4}{2} - \frac{3 \times 1}{2} = \frac{12}{2} - \frac{3}{2} = 6 - 1.5 = 4.5 \) 2. \( [4x]_{-1}^{2} = 4 \times 2 - 4 \times (-1) = 8 + 4 = 12 \) Итог: \[ S = 4.5 + 12 = 16.5 \] --- ### **Ответ:** **Площадь области равна \( 16{,}5 \) квадратных единиц.** Если нужен рисунок, то его можно в основном изобразить так: - вертикальные линии в точках \( x=-1 \) и \( x=2 \), - линию \( y=3x+4 \), - и область, ограниченную этими линиями и \( y=0 \). Если нужно, могу помочь с построением графика или пояснениями по нему!