Цветник имеет контур, заданный линиями f (x) = x* -2х, y = 0. Найти площадь данного участка земли, используя определенный интеграл.

Давайте решим задачу по определению площади участка земли, ограниченного линиями. Из условия у нас есть: - Контур, заданный линиями \( f(x) = x^2 - 2x \) и линией \( y = 0 \) (осью абсцисс). ## Шаг 1: Анализ задачи Задача заключается в нахождении площади области, ограниченной графиком функции \( y = x^2 - 2x \) и осью \( y=0 \). Площадь определяется как определенный интеграл функции \( f(x) \) по интервалу, где эта область находится. Для этого нужно: 1. Найти точки пересечения графика \( y = x^2 - 2x \) с линией \( y=0 \). 2. Определить интервал интегрирования — это значения \( x \), между которыми график лежит выше оси \( y=0 \). 3. Вычислить определённый интеграл по этому интервалу, чтобы найти площадь. ## Шаг 2: Находим точки пересечения Приравниваем: \[ x^2 - 2x = 0 \] Факторизуем: \[ x(x - 2) = 0 \] Отсюда: \[ x=0 \quad \text{или} \quad x=2 \] Итак, график функции пересекает ось \( y=0 \) в точках \( x=0 \) и \( x=2 \). ## Шаг 3: Определяем, где график выше \( y=0 \) Рассмотрим знак функции между \( x=0 \) и \( x=2 \): - Для \( x \in (0,2) \): \[ f(x) = x^2 - 2x \] подставим например \( x=1 \): \[ f(1) = 1 - 2 = -1 \] Это отрицательное число, значит, в интервале \( (0,2) \) график ниже оси \( y=0 \) (отрицательный). Следовательно, чтобы найти площадь — абсолютную величину, нужно брать модуль значения функции. Область, ограниченная графиком и осью \( y=0 \), будет между этими точками и ниже оси. Площадь этого участка задается интегралом: \[ S = \int_{0}^{2} |f(x)| \, dx \] Поскольку \( f(x) \) отрицательная на интервале \( (0,2) \), то: \[ |f(x)| = -(f(x)) = -(x^2 - 2x) = -x^2 + 2x \] ## Шаг 4: Вычисляем площадь Площадь: \[ S = \int_{0}^{2} (-x^2 + 2x) \, dx \] Вычисляем интеграл по частям: \[ S = \left[ -\frac{x^3}{3} + x^2 \right]_0^{2} \] Подставим: \[ x=2: \quad -\frac{(2)^3}{3} + (2)^2 = -\frac{8}{3} + 4 \] \[ x=0: \quad -0 + 0 = 0 \] Теперь считаем разность: \[ S = \left( -\frac{8}{3} + 4 \right) - 0 = -\frac{8}{3} + 4 \] Приведем к общему знаменателю: \[ 4 = \frac{12}{3} \] Тогда: \[ S = -\frac{8}{3} + \frac{12}{3} = \frac{4}{3} \] ## Ответ: **Площадь участка равна \(\frac{4}{3}\) квадратных единиц.** Если есть дополнительные вопросы или нужно более подробно объяснить каждый шаг — сообщайте!