Цветник имеет контур, заданный линиями f (x) = x* -2х, y = 0. Найти площадь данного участка земли, используя определенный интеграл.
Давайте решим задачу по определению площади участка земли, ограниченного линиями. Из условия у нас есть:
- Контур, заданный линиями \( f(x) = x^2 - 2x \) и линией \( y = 0 \) (осью абсцисс).
Шаг 1: Анализ задачи
Задача заключается в нахождении площади области, ограниченной графиком функции \( y = x^2 - 2x \) и осью \( y=0 \). Площадь определяется как определенный интеграл функции \( f(x) \) по интервалу, где эта область находится.
Для этого нужно:
- Найти точки пересечения графика \( y = x^2 - 2x \) с линией \( y=0 \).
- Определить интервал интегрирования — это значения \( x \), между которыми график лежит выше оси \( y=0 \).
- Вычислить определённый интеграл по этому интервалу, чтобы найти площадь.
Шаг 2: Находим точки пересечения
Приравниваем:
\[ x^2 - 2x = 0 \]
Факторизуем:
\[ x(x - 2) = 0 \]
Отсюда:
\[ x=0 \quad \text{или} \quad x=2 \]
Итак, график функции пересекает ось \( y=0 \) в точках \( x=0 \) и \( x=2 \).
Шаг 3: Определяем, где график выше \( y=0 \)
Рассмотрим знак функции между \( x=0 \) и \( x=2 \):
- Для \( x \in (0,2) \):
\[ f(x) = x^2 - 2x \]
подставим например \( x=1 \):
\[ f(1) = 1 - 2 = -1 \]
Это отрицательное число, значит, в интервале \( (0,2) \) график ниже оси \( y=0 \) (отрицательный). Следовательно, чтобы найти площадь — абсолютную величину, нужно брать модуль значения функции.
Область, ограниченная графиком и осью \( y=0 \), будет между этими точками и ниже оси. Площадь этого участка задается интегралом:
\[ S = \int_{0}^{2} |f(x)| \, dx \]
Поскольку \( f(x) \) отрицательная на интервале \( (0,2) \), то:
\[ |f(x)| = -(f(x)) = -(x^2 - 2x) = -x^2 + 2x \]
Шаг 4: Вычисляем площадь
Площадь:
\[ S = \int_{0}^{2} (-x^2 + 2x) \, dx \]
Вычисляем интеграл по частям:
\[ S = \left[ -\frac{x^3}{3} + x^2 \right]_0^{2} \]
Подставим:
\[ x=2: \quad -\frac{(2)^3}{3} + (2)^2 = -\frac{8}{3} + 4 \]
\[ x=0: \quad -0 + 0 = 0 \]
Теперь считаем разность:
\[ S = \left( -\frac{8}{3} + 4 \right) - 0 = -\frac{8}{3} + 4 \]
Приведем к общему знаменателю:
\[ 4 = \frac{12}{3} \]
Тогда:
\[ S = -\frac{8}{3} + \frac{12}{3} = \frac{4}{3} \]
Ответ:
Площадь участка равна \(\frac{4}{3}\) квадратных единиц.
Если есть дополнительные вопросы или нужно более подробно объяснить каждый шаг — сообщайте!
