Реши

Конечно! Ниже приведены решения всех задач с подробными объяснениями: ### Задача 1. Вычислите: \[ \left( \frac{3}{4} \right)^{\frac{21}{31}} : \left( \frac{3}{4} \right)^{\frac{1}{3}} \] **Решение:** - Правило деления степеней с одинаковым основанием: \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m - n}\). - В данном случае, основание одинаковое \(\frac{3}{4}\), значит: \[ \left( \frac{3}{4} \right)^{\frac{21}{31} - \frac{1}{3}} \] - Найдём разность показателей: \[ \frac{21}{31} - \frac{1}{3} = \frac{21 \times 3}{31 \times 3} - \frac{1 \times 31}{3 \times 31} = \frac{63}{93} - \frac{31}{93} = \frac{63 - 31}{93} = \frac{32}{93} \] - Итог: \[ \boxed{\left( \frac{3}{4} \right)^{\frac{32}{93}}} \] --- ### Задача 2. Вычислите: \[ \sqrt[3]{250} \times \sqrt{4} \] **Решение:** - Перепишем каждое выражение в виде степеней: \[ \sqrt[3]{250} = 250^{\frac{1}{3}} \] \[ \sqrt{4} = 4^{\frac{1}{2}} = (2^2)^{\frac{1}{2}} = 2^{2 \times \frac{1}{2}} = 2^1 = 2 \] - Теперь произведение: \[ 250^{1/3} \times 2 \] - 250 можно представить как \(5^3 \times 2\), так как: \[ 5^3 = 125, \quad 250 = 125 \times 2 \] - Тогда: \[ (5^3 \times 2)^{1/3} \times 2 \] - Раскрасим степень: \[ (5^3)^{1/3} \times 2^{1/3} \times 2 = 5^{3 \times \frac{1}{3}} \times 2^{\frac{1}{3}} \times 2 = 5^{1} \times 2^{\frac{4}{3}} \] - Итог: \[ 5 \times 2^{4/3} = 5 \times 2^{1 + 1/3} = 5 \times 2 \times 2^{1/3} = 10 \times \sqrt[3]{2} \] **Ответ:** \(\boxed{10 \times \sqrt[3]{2}}\). --- ### Задача 3. Вычислите \(\log_2 40 - \log_2 2.5\) **Решение:** - Используем свойство логарифмов: \(\log_b a - \log_b c = \log_b \frac{a}{c}\). - Тогда: \[ \log_2 \frac{40}{2.5} \] - Делим 40 на 2.5: \[ \frac{40}{2.5} = 16 \] - Значит: \[ \boxed{\log_2 16} \] - Что равно: \[ \log_2 16 = 4, \] так как \(2^4 = 16\). **Ответ:** \(\boxed{4}\). --- ### Задача 4. Решите неравенство: \[ 4^{3x-2} > 256 \] **Решение:** - Перепишем 256 как степень двойки: \[ 256 = 2^8 \] - Перепишем основание 4 как степень двойки: \[ 4 = 2^2, \] поэтому: \[ (2^2)^{3x - 2} > 2^8 \] - Используем свойство степеней: \[ 2^{2(3x - 2)} > 2^8 \] - Тогда: \[ 2^{6x - 4} > 2^8 \] - Поскольку основания равны и больше нуля, неравенство сохраняет знак при сравнении показателей: \[ 6x - 4 > 8 \] - Решаем: \[ 6x > 12 \implies x > 2 \] **Ответ:** \(\boxed{x > 2}\). --- ### Задача 5. Решите уравнение: \[ 2 \sin x = - \sqrt{3} \] **Решение:** - Делим обе части на 2: \[ \sin x = - \frac{\sqrt{3}}{2} \] - Знаем, что: \[ \sin x = - \frac{\sqrt{3}}{2} \] при углах: \[ x = \frac{4\pi}{3} + 2 \pi n, \quad x = \frac{5\pi}{3} + 2 \pi n, \] где \(n \in \mathbb{Z}\). - **Ответ:** \[ \boxed{x = \frac{4\pi}{3} + 2 \pi n \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{3} + 2 \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}} \] --- ### Задача 6. Найдите значение производной функции \( y = 3x^2 \) в точке \(x_0 = 1\): **Решение:** - Производная функции: \[ y' = \frac{d}{dx} (3x^2) = 6x \] - В точке \(x_0 = 1\): \[ y'(1) = 6 \times 1 = 6 \] **Ответ:** \(\boxed{6}\). --- Если нужно более подробное объяснение какой-либо задачи, сообщите!