Реши
Конечно! Ниже приведены решения всех задач с подробными объяснениями:
Задача 1. Вычислите:
\[ \left( \frac{3}{4} \right)^{\frac{21}{31}} : \left( \frac{3}{4} \right)^{\frac{1}{3}} \]
Решение:
Правило деления степеней с одинаковым основанием: \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m - n}\).
В данном случае, основание одинаковое \(\frac{3}{4}\), значит:
\[ \left( \frac{3}{4} \right)^{\frac{21}{31} - \frac{1}{3}} \]
- Найдём разность показателей:
\[ \frac{21}{31} - \frac{1}{3} = \frac{21 \times 3}{31 \times 3} - \frac{1 \times 31}{3 \times 31} = \frac{63}{93} - \frac{31}{93} = \frac{63 - 31}{93} = \frac{32}{93} \]
- Итог:
\[ \boxed{\left( \frac{3}{4} \right)^{\frac{32}{93}}} \]
Задача 2. Вычислите:
\[ \sqrt[3]{250} \times \sqrt{4} \]
Решение:
- Перепишем каждое выражение в виде степеней:
\[ \sqrt[3]{250} = 250^{\frac{1}{3}} \] \[ \sqrt{4} = 4^{\frac{1}{2}} = (2^2)^{\frac{1}{2}} = 2^{2 \times \frac{1}{2}} = 2^1 = 2 \]
- Теперь произведение:
\[ 250^{1/3} \times 2 \]
- 250 можно представить как \(5^3 \times 2\), так как:
\[ 5^3 = 125, \quad 250 = 125 \times 2 \]
- Тогда:
\[ (5^3 \times 2)^{1/3} \times 2 \]
- Раскрасим степень:
\[ (5^3)^{1/3} \times 2^{1/3} \times 2 = 5^{3 \times \frac{1}{3}} \times 2^{\frac{1}{3}} \times 2 = 5^{1} \times 2^{\frac{4}{3}} \]
- Итог:
\[ 5 \times 2^{4/3} = 5 \times 2^{1 + 1/3} = 5 \times 2 \times 2^{1/3} = 10 \times \sqrt[3]{2} \]
Ответ: \(\boxed{10 \times \sqrt[3]{2}}\).
Задача 3. Вычислите \(\log_2 40 - \log_2 2.5\)
Решение:
Используем свойство логарифмов: \(\log_b a - \log_b c = \log_b \frac{a}{c}\).
Тогда:
\[ \log_2 \frac{40}{2.5} \]
- Делим 40 на 2.5:
\[ \frac{40}{2.5} = 16 \]
- Значит:
\[ \boxed{\log_2 16} \]
- Что равно:
\[ \log_2 16 = 4, \]
так как \(2^4 = 16\).
Ответ: \(\boxed{4}\).
Задача 4. Решите неравенство:
\[ 4^{3x-2} > 256 \]
Решение:
- Перепишем 256 как степень двойки:
\[ 256 = 2^8 \]
- Перепишем основание 4 как степень двойки:
\[ 4 = 2^2, \]
поэтому:
\[ (2^2)^{3x - 2} > 2^8 \]
- Используем свойство степеней:
\[ 2^{2(3x - 2)} > 2^8 \]
- Тогда:
\[ 2^{6x - 4} > 2^8 \]
- Поскольку основания равны и больше нуля, неравенство сохраняет знак при сравнении показателей:
\[ 6x - 4 > 8 \]
- Решаем:
\[ 6x > 12 \implies x > 2 \]
Ответ: \(\boxed{x > 2}\).
Задача 5. Решите уравнение:
\[ 2 \sin x = - \sqrt{3} \]
Решение:
- Делим обе части на 2:
\[ \sin x = - \frac{\sqrt{3}}{2} \]
- Знаем, что:
\[ \sin x = - \frac{\sqrt{3}}{2} \]
при углах:
\[ x = \frac{4\pi}{3} + 2 \pi n, \quad x = \frac{5\pi}{3} + 2 \pi n, \] где \(n \in \mathbb{Z}\).
- Ответ:
\[ \boxed{x = \frac{4\pi}{3} + 2 \pi n \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{3} + 2 \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}} \]
Задача 6. Найдите значение производной функции \( y = 3x^2 \) в точке \(x_0 = 1\):
Решение:
- Производная функции:
\[ y' = \frac{d}{dx} (3x^2) = 6x \]
- В точке \(x_0 = 1\):
\[ y'(1) = 6 \times 1 = 6 \]
Ответ: \(\boxed{6}\).
Если нужно более подробное объяснение какой-либо задачи, сообщите!
