Реши контрольную работу по математике

Конечно! Ниже представлены решения всех заданий из контрольной работы по математике, с подробными объяснениями и шагами: --- ### Вариант В 8 **Задача:** Найти корень уравнения \(5^x = 25\). **Решение:** 1. Заметим, что \(25 = 5^2\). 2. Тогда уравнение записывается как: \[ 5^x = 5^2 \] 3. Поскольку основания равны и они не равны 1, то степень должна быть равна: \[ x = 2 \] **Ответ:** \(\boxed{2}\) --- ### Вариант В 9 **Задача:** Бетонный шар диаметром 0,5 м. Сколько шаров нужно, чтобы уменьшить объем в 4 раза? **Решение:** 1. Найдём объем одного шара: \[ V = \frac{4}{3} \pi r^3 \] где радиус \(r = \frac{d}{2} = 0.25\,м\). 2. Объем одного шара: \[ V = \frac{4}{3} \pi (0.25)^3 = \frac{4}{3} \pi \times 0.015625 \approx 0.06545 \, м^3 \] 3. Объем всего изначально: Пусть исходный объем — \(V_{исх} = V\). 4. Новый объем — это 1/4 исходного: \[ V_{нов} = \frac{V_{исх}}{4} \] 5. Вопрос в том, сколько шаров нужно, чтобы получить этот объем. Объем каждого шара одинаковый, поэтому количество шаров: \[ N = \frac{V_{исх}}{V} = 4 \] Итог: **4 шара**. **Ответ:** \(\boxed{4}\) --- ### Вариант В 10 **Задача:** Найти значение выражения \( \log_{10} 2 - 2 \log_5 7 \). **Решение:** 1. Перепишем логарифмы: \[ \log_{10} 2 - 2 \log_5 7 \] 2. Используем изменение базы: \[ \log_5 7 = \frac{\log_{10} 7}{\log_{10} 5} \] 3. Так, выражение становится: \[ \log_{10} 2 - 2 \times \frac{\log_{10} 7}{\log_{10} 5} \] 4. Расставим для упрощения: \[ \approx 0.3010 - 2 \times \frac{0.8451}{0.6990} \approx 0.3010 - 2 \times 1.21 \approx 0.3010 - 2.42 = -2.119 \] **Ответ:** приблизительно \(\boxed{-2.12}\) --- ### Вариант В 11 **Задача:** Камень бросают вниз с высоты 5 м, время падения зависит от \(t(t) = 5 - 4t^2\). За сколько секунд камень упадёт? **Решение:** 1. Задача: чтобы камень упал, время должно быть равно нулю, т.е. когда: \[ 5 - 4t^2 = 0 \] 2. Решим уравнение: \[ 4t^2 = 5 \] \[ t^2 = \frac{5}{4} = 1.25 \] 3. Так как время не может быть отрицательным, берем корень: \[ t = \sqrt{1.25} \approx 1.12 \text{ сек} \] **Ответ:** приблизительно \(\boxed{1.12\, \text{с}}\) --- ### Вариант В 12 **Задача:** Объем параллелепипеда равен 64 м³. Если его размеры уменьшить в 4 раза, какой будет объем? **Решение:** 1. Формула объема: \[ V = a \times b \times c \] 2. Пусть исходный объем — 64 м³, и размеры все одинаково уменьшишь в 4 раза: \[ a' = a/4, \quad b' = b/4, \quad c' = c/4 \] 3. Тогда новый объем: \[ V' = a' \times b' \times c' = \frac{a}{4} \times \frac{b}{4} \times \frac{c}{4} = \frac{a \times b \times c}{4^3} = \frac{64}{64} = 1\, м^3 \] 4. Варианты ответов: 16, 32, 4, 1. Верный — **1 м³**. **Ответ:** \(\boxed{1\, м^3}\) --- ### Вариант В 13 **Задача:** Выражение \(Q = cm(t_1 - t_2)\). Вам нужно выразить \(t_1\). **Решение:** 1. Исходное уравнение: \[ Q = c m (t_1 - t_2) \] 2. Разделим обе части на \(cm\): \[ \frac{Q}{cm} = t_1 - t_2 \] 3. Тогда: \[ t_1 = \frac{Q}{cm} + t_2 \] **Ответ:** \(t_1 = \frac{Q}{cm} + t_2\) --- ### Вариант В 14 **Задача:** Найти максимум функции \( y = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x - 1 \). **Решение:** 1. Найдем производную \( y' \): \[ y' = x^2 - 4x + 3 \] 2. Приравниваем к нулю для поиска стационарных точек: \[ x^2 - 4x + 3 = 0 \] 3. Решаем квадратное уравнение: \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \times 1 \times 3}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2} \] 4. Получаем два значения: \[ x = \frac{4 + 2}{2} = 3, \quad x = \frac{4 - 2}{2} = 1 \] 5. Вычислим \( y \) в точках: - \( x=1 \): \[ y = \frac{1}{3} - 2 + 3 - 1 = \frac{1}{3} + 0 = \frac{1}{3} \] - \( x=3 \): \[ y = \frac{1}{3} (27) - 2(9) + 3(3) - 1 = 9 - 18 + 9 - 1 = -1 \] 6. Максимум достигается при \( x = 1 \), поскольку \( y \approx 0.33 \). **Ответ:** Максимум функции: \(\boxed{\frac{1}{3}}\). --- ### Вариант В 15 **Задача:** Рассчитать, за сколько часов поднимется на гору турист, если вначале высота 580 м, а каждый час высота увеличивается на 40 м? **Решение:** 1. Обозначим время — \( t \) часов. 2. Высота после \(t\) часов: \[ H = 580 + 40 t \] 3. Требуется подняться на 2500 м: \[ 580 + 40t = 2500 \] 4. Решаем: \[ 40 t = 2500 - 580 = 1920 \] \[ t = \frac{1920}{40} = 48\, \text{часов} \] **Ответ:** \(\boxed{48\, \text{часов}}\). --- Если нужны дополнительные разъяснения или решение других заданий, обращайтесь!