реши контрольную работу по математике
Конечно! Ниже представлены решения всех заданий из контрольной работы по математике, с подробными объяснениями и шагами:
Вариант В 8
Задача: Найти корень уравнения \(5^x = 25\).
Решение:
- Заметим, что \(25 = 5^2\).
- Тогда уравнение записывается как: \[ 5^x = 5^2 \]
- Поскольку основания равны и они не равны 1, то степень должна быть равна: \[ x = 2 \] Ответ: \(\boxed{2}\)
Вариант В 9
Задача: Бетонный шар диаметром 0,5 м. Сколько шаров нужно, чтобы уменьшить объем в 4 раза?
Решение:
Найдём объем одного шара: \[ V = \frac{4}{3} \pi r^3 \] где радиус \(r = \frac{d}{2} = 0.25\,м\).
Объем одного шара: \[ V = \frac{4}{3} \pi (0.25)^3 = \frac{4}{3} \pi \times 0.015625 \approx 0.06545 \, м^3 \]
Объем всего изначально: Пусть исходный объем — \(V_{исх} = V\).
Новый объем — это 1/4 исходного: \[ V_{нов} = \frac{V_{исх}}{4} \]
Вопрос в том, сколько шаров нужно, чтобы получить этот объем. Объем каждого шара одинаковый, поэтому количество шаров: \[ N = \frac{V_{исх}}{V} = 4 \]
Итог: 4 шара.
Ответ: \(\boxed{4}\)
Вариант В 10
Задача: Найти значение выражения \( \log_{10} 2 - 2 \log_5 7 \).
Решение:
- Перепишем логарифмы: \[ \log_{10} 2 - 2 \log_5 7 \]
- Используем изменение базы: \[ \log_5 7 = \frac{\log_{10} 7}{\log_{10} 5} \]
- Так, выражение становится: \[ \log_{10} 2 - 2 \times \frac{\log_{10} 7}{\log_{10} 5} \]
- Расставим для упрощения: \[ \approx 0.3010 - 2 \times \frac{0.8451}{0.6990} \approx 0.3010 - 2 \times 1.21 \approx 0.3010 - 2.42 = -2.119 \]
Ответ: приблизительно \(\boxed{-2.12}\)
Вариант В 11
Задача: Камень бросают вниз с высоты 5 м, время падения зависит от \(t(t) = 5 - 4t^2\). За сколько секунд камень упадёт?
Решение:
- Задача: чтобы камень упал, время должно быть равно нулю, т.е. когда: \[ 5 - 4t^2 = 0 \]
- Решим уравнение: \[ 4t^2 = 5 \] \[ t^2 = \frac{5}{4} = 1.25 \]
- Так как время не может быть отрицательным, берем корень: \[ t = \sqrt{1.25} \approx 1.12 \text{ сек} \]
Ответ: приблизительно \(\boxed{1.12\, \text{с}}\)
Вариант В 12
Задача: Объем параллелепипеда равен 64 м³. Если его размеры уменьшить в 4 раза, какой будет объем?
Решение:
- Формула объема: \[ V = a \times b \times c \]
- Пусть исходный объем — 64 м³, и размеры все одинаково уменьшишь в 4 раза: \[ a' = a/4, \quad b' = b/4, \quad c' = c/4 \]
- Тогда новый объем: \[ V' = a' \times b' \times c' = \frac{a}{4} \times \frac{b}{4} \times \frac{c}{4} = \frac{a \times b \times c}{4^3} = \frac{64}{64} = 1\, м^3 \]
- Варианты ответов: 16, 32, 4, 1. Верный — 1 м³.
Ответ: \(\boxed{1\, м^3}\)
Вариант В 13
Задача: Выражение \(Q = cm(t_1 - t_2)\). Вам нужно выразить \(t_1\).
Решение:
- Исходное уравнение: \[ Q = c m (t_1 - t_2) \]
- Разделим обе части на \(cm\): \[ \frac{Q}{cm} = t_1 - t_2 \]
- Тогда: \[ t_1 = \frac{Q}{cm} + t_2 \]
Ответ: \(t_1 = \frac{Q}{cm} + t_2\)
Вариант В 14
Задача: Найти максимум функции \( y = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x - 1 \).
Решение:
Найдем производную \( y' \): \[ y' = x^2 - 4x + 3 \]
Приравниваем к нулю для поиска стационарных точек: \[ x^2 - 4x + 3 = 0 \]
Решаем квадратное уравнение: \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \times 1 \times 3}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2} \]
Получаем два значения: \[ x = \frac{4 + 2}{2} = 3, \quad x = \frac{4 - 2}{2} = 1 \]
Вычислим \( y \) в точках:
- \( x=1 \): \[ y = \frac{1}{3} - 2 + 3 - 1 = \frac{1}{3} + 0 = \frac{1}{3} \]
- \( x=3 \): \[ y = \frac{1}{3} (27) - 2(9) + 3(3) - 1 = 9 - 18 + 9 - 1 = -1 \]
Максимум достигается при \( x = 1 \), поскольку \( y \approx 0.33 \).
Ответ: Максимум функции: \(\boxed{\frac{1}{3}}\).
Вариант В 15
Задача: Рассчитать, за сколько часов поднимется на гору турист, если вначале высота 580 м, а каждый час высота увеличивается на 40 м?
Решение:
- Обозначим время — \( t \) часов.
- Высота после \(t\) часов: \[ H = 580 + 40 t \]
- Требуется подняться на 2500 м: \[ 580 + 40t = 2500 \]
- Решаем: \[ 40 t = 2500 - 580 = 1920 \] \[ t = \frac{1920}{40} = 48\, \text{часов} \]
Ответ: \(\boxed{48\, \text{часов}}\).
Если нужны дополнительные разъяснения или решение других заданий, обращайтесь!
