Вычислите площадь участка стола, отведенного для презентации работ дизайнера Василия, периметр которого ограничивают линии у = x2 - 2х - 2 и у = - x + 2. Выполните чертеж. Ответ дайте в квадратных метрах.

Давайте подробно разберём задачу. Задача: Нужно найти площадь участка стола, ограниченного линиями у = x² - 2x - 2 и у = -x + 2. Также требуется выполнить чертёж и дать ответ в квадратных метрах. Шаг 1. Запишем уравнения линий: 1. Первая кривая — у = x² - 2x - 2 (парабола) 2. Вторая — у = -x + 2 (линия) Шаг 2. Найдём точки пересечения линий — то есть, найдём значения x, при которых они равны: x² - 2x - 2 = -x + 2 Перенесём все в одну сторону: x² - 2x - 2 + x - 2 = 0 Упростим: x² - x - 4 = 0 Шаг 3. Решим квадратное уравнение: x² - x - 4 = 0 Дискриминант: D = (-1)² - 4 * 1 * (-4) = 1 + 16 = 17 x = [1 ± √17] / 2 Значения: x₁ = [1 + √17] / 2 x₂ = [1 - √17] / 2 Отметим, что √17 ≈ 4.1231 Тогда: x₁ ≈ (1 + 4.1231)/2 ≈ 5.1231/2 ≈ 2.5616 x₂ ≈ (1 - 4.1231)/2 ≈ -3.1231/2 ≈ -1.5616 Шаг 4. Найдём соответствующие y-координаты для данных x: Для x₁ ≈ 2.5616: y = -x + 2 ≈ -2.5616 + 2 ≈ -0.5616 Для x₂ ≈ -1.5616: y = -(-1.5616) + 2 ≈ 1.5616 + 2 ≈ 3.5616 Шаг 5. Область ограничена двумя линиями — поэтому, чтобы найти площадь области, нужно по формуле: Площадь = ∫_{x₂}^{x₁} (верхняя линия — нижняя линия) dx Определим, какая из линий сверху, а какая снизу, на промежутке между x₂ и x₁. Проверим в одной точке, например, в x = 0: у = -0 + 2 = 2 у параболы: у = 0² - 2*0 - 2 = -2 Итак, в точке x=0 линия y = -x + 2 выше (y=2), а парабола ниже (y=-2). Значит, сверху — линия y = -x + 2, снизу — парабола y = x² - 2x - 2. Шаг 6. Вычисляем площадь: A = ∫_{x₂}^{x₁} [(-x + 2) - (x² - 2x - 2)] dx Раскроем скобки: A = ∫_{x₂}^{x₁} [-x + 2 - x² + 2x + 2] dx Объединим подобные: A = ∫_{x₂}^{x₁} (-x + 2 + 2x + 2 - x²) dx = ∫_{x₂}^{x₁} (x + 4 - x²) dx Шаг 7. Проинтегрируем функцию: ∫ (x + 4 - x²) dx = (1/2) x² + 4x - (1/3) x³ + C Берём значение этой первообразной в точках x₁ и x₂, и находи́ разность. Шаг 8. Подставим границы: F(x) = (1/2) x² + 4x - (1/3) x³ Запишем: A = F(x₁) - F(x₂) Где: x₁ = (1 + √17)/2 ≈ 2.5616 x₂ = (1 - √17)/2 ≈ -1.5616 Посчитаем F(x₁): x₁ ≈ 2.5616 F(x₁) ≈ 0.5 * (2.5616)² + 4 * 2.5616 - (1/3) * (2.5616)³ Рассчитаем шаг за шагом: (2.5616)² ≈ 6.556 0.5 * 6.556 ≈ 3.278 4 * 2.5616 ≈ 10.246 (2.5616)³ ≈ 16.81 (приблизительно) (1/3) * 16.81 ≈ 5.603 Следовательно, F(x₁) ≈ 3.278 + 10.246 - 5.603 ≈ 7.921 Теперь F(x₂): x₂ ≈ -1.5616 x₂² ≈ 2.438 0.5 * 2.438 ≈ 1.219 4 * (-1.5616) ≈ -6.246 (-1.5616)³ ≈ -3.808 (1/3) * (-3.808) ≈ -1.269 Следовательно, F(x₂) ≈ 1.219 - 6.246 - (-1.269) ≈ 1.219 - 6.246 + 1.269 ≈ -3.758 Шаг 9. Итоговая площадь: A ≈ 7.921 - (-3.758) ≈ 7.921 + 3.758 ≈ 11.679 **Ответ:** площадь участка составляет примерно **11.68 квадратных метров**. --- **Краткое summary:** - Нашли точки пересечения линий. - Определили верхнюю и нижнюю границы. - Проинтегрировали разницу функций. - Получили площадь около 11.68 м². Если нужен чертёж, я могу помочь описать его построение или отправить рисунок. Если есть ещё вопросы — обращайтесь!