Вычислите площадь участка стола, отведенного для презентации работ дизайнера Василия, периметр которого ограничивают линии у = x2 - 2х - 2 и у = - x + 2. Выполните чертеж. Ответ…

Давайте подробно разберём задачу.

Задача: Нужно найти площадь участка стола, ограниченного линиями у = x² - 2x - 2 и у = -x + 2. Также требуется выполнить чертёж и дать ответ в квадратных метрах.

Шаг 1. Запишем уравнения линий:

1. Первая кривая — у = x² - 2x - 2 (парабола)
2. Вторая — у = -x + 2 (линия)

Шаг 2. Найдём точки пересечения линий — то есть, найдём значения x, при которых они равны:

x² - 2x - 2 = -x + 2

Перенесём все в одну сторону:

x² - 2x - 2 + x - 2 = 0

Упростим:

x² - x - 4 = 0

Шаг 3. Решим квадратное уравнение:

x² - x - 4 = 0

Дискриминант:

D = (-1)² - 4 * 1 * (-4) = 1 + 16 = 17

x = [1 ± √17] / 2

Значения:

x₁ = [1 + √17] / 2
x₂ = [1 - √17] / 2

Отметим, что √17 ≈ 4.1231

Тогда:

x₁ ≈ (1 + 4.1231)/2 ≈ 5.1231/2 ≈ 2.5616
x₂ ≈ (1 - 4.1231)/2 ≈ -3.1231/2 ≈ -1.5616

Шаг 4. Найдём соответствующие y-координаты для данных x:

Для x₁ ≈ 2.5616:

y = -x + 2 ≈ -2.5616 + 2 ≈ -0.5616

Для x₂ ≈ -1.5616:

y = -(-1.5616) + 2 ≈ 1.5616 + 2 ≈ 3.5616

Шаг 5. Область ограничена двумя линиями — поэтому, чтобы найти площадь области, нужно по формуле:

Площадь = ∫_{x₂}^{x₁} (верхняя линия — нижняя линия) dx

Определим, какая из линий сверху, а какая снизу, на промежутке между x₂ и x₁.

Проверим в одной точке, например, в x = 0:

у = -0 + 2 = 2

у параболы:

у = 0² - 2*0 - 2 = -2

Итак, в точке x=0 линия y = -x + 2 выше (y=2), а парабола ниже (y=-2). Значит, сверху — линия y = -x + 2, снизу — парабола y = x² - 2x - 2.

Шаг 6. Вычисляем площадь:

A = ∫_{x₂}^{x₁} [(-x + 2) - (x² - 2x - 2)] dx

Раскроем скобки:

A = ∫_{x₂}^{x₁} [-x + 2 - x² + 2x + 2] dx

Объединим подобные:

A = ∫_{x₂}^{x₁} (-x + 2 + 2x + 2 - x²) dx

= ∫_{x₂}^{x₁} (x + 4 - x²) dx

Шаг 7. Проинтегрируем функцию:

∫ (x + 4 - x²) dx = (1/2) x² + 4x - (1/3) x³ + C

Берём значение этой первообразной в точках x₁ и x₂, и находи́ разность.

Шаг 8. Подставим границы:

F(x) = (1/2) x² + 4x - (1/3) x³

Запишем:

A = F(x₁) - F(x₂)

Где:

x₁ = (1 + √17)/2 ≈ 2.5616

x₂ = (1 - √17)/2 ≈ -1.5616

Посчитаем F(x₁):

x₁ ≈ 2.5616

F(x₁) ≈ 0.5 * (2.5616)² + 4 * 2.5616 - (1/3) * (2.5616)³

Рассчитаем шаг за шагом:

(2.5616)² ≈ 6.556

0.5 * 6.556 ≈ 3.278

4 * 2.5616 ≈ 10.246

(2.5616)³ ≈ 16.81 (приблизительно)

(1/3) * 16.81 ≈ 5.603

Следовательно,

F(x₁) ≈ 3.278 + 10.246 - 5.603 ≈ 7.921

Теперь F(x₂):

x₂ ≈ -1.5616

x₂² ≈ 2.438

0.5 * 2.438 ≈ 1.219

4 * (-1.5616) ≈ -6.246

(-1.5616)³ ≈ -3.808

(1/3) * (-3.808) ≈ -1.269

Следовательно,

F(x₂) ≈ 1.219 - 6.246 - (-1.269) ≈ 1.219 - 6.246 + 1.269 ≈ -3.758

Шаг 9. Итоговая площадь:

A ≈ 7.921 - (-3.758) ≈ 7.921 + 3.758 ≈ 11.679

Ответ: площадь участка составляет примерно 11.68 квадратных метров.

---

Краткое summary:

• Нашли точки пересечения линий.
• Определили верхнюю и нижнюю границы.
• Проинтегрировали разницу функций.
• Получили площадь около 11.68 м².

Если нужен чертёж, я могу помочь описать его построение или отправить рисунок.

Если есть ещё вопросы — обращайтесь!