Вычислите площадь фигуры, ограниченную линиями: y=x^2 +5x +6, x=-1, x=2, y=0

Давайте подробно решим задачу по вычислению площади фигуры, ограниченной указанными линиями. **Дано:** - Площадь ограничена кривой \( y = x^2 + 5x + 6 \) - Вертикальными линиями \( x = -1 \) и \( x = 2 \) - И линией \( y = 0 \) Задача — найти площадь области между кривой \( y = x^2 + 5x + 6 \), осью \( x \) и линиями \( x = -1 \) и \( x = 2 \). --- ### Шаг 1. Проверка графика функции Функция \( y = x^2 + 5x + 6 \) — это парабола: - Коэффициент перед \( x^2 \) — положительный, значит парабола открыта вверх. - Найдём её вершину и точки пересечения с осью \( y \). ### Шаг 2. Найдём корни функции (точки пересечения с осью \( y = 0 \)) Решим уравнение: \[ x^2 + 5x + 6 = 0 \] Используем дискриминант: \[ D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 \] Найдём корни: \[ x = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2} \] \[ x = \frac{-5 \pm 1}{2} \] - При \( +1 \): \[ x = \frac{-5 + 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \] - При \( -1 \): \[ x = \frac{-5 - 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \] Но тут есть небольшая ошибочка — в исходном уравнении корни — это именно \( x = -2 \) и \( x = -3 \). Однако в вычислении корней я ошибся, потому что дискриминант равен 1, и корни: \[ x = \frac{-5 \pm 1}{2} \] т.е. - \( x = \frac{-5 + 1}{2} = -2 \) - \( x = \frac{-5 - 1}{2} = -3 \) **Вывод:** функция пересекает ось \( x \) в точках \( x = -3 \) и \( x = -2 \). --- ### Шаг 3. Проверка расположения области Нас интересует часть функции между \( x = -1 \) и \( x = 2 \). Область ограничена: - слева: \( x = -1 \) - справа: \( x = 2 \) - снизу — ось \( y = 0 \) - сверху — график \( y = x^2 + 5x + 6 \) --- ### Шаг 4. Получение формулы площади Площадь области: \[ S = \int_{x = -1}^{2} y \, dx \] Так как \( y = x^2 + 5x + 6 \): \[ S = \int_{-1}^{2} (x^2 + 5x + 6) \, dx \] --- ### Шаг 5. Вычисление интеграла Интегрируем по частям: \[ \int (x^2 + 5x + 6) dx = \frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} + 6x + C \] Подставим пределы: \[ S = \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} + 6x \right]_{-1}^{2} \] --- ### Шаг 6. Подставляем границы Для \( x=2 \): \[ \frac{(2)^3}{3} + \frac{5 \cdot (2)^2}{2} + 6 \cdot 2 = \frac{8}{3} + \frac{5 \cdot 4}{2} + 12 = \frac{8}{3} + \frac{20}{2} + 12 \] Преобразуем: \[ \frac{8}{3} + 10 + 12 = \frac{8}{3} + 22 \] Для \( x=-1 \): \[ \frac{(-1)^3}{3} + \frac{5 \cdot (-1)^2}{2} + 6 \cdot (-1) = \frac{-1}{3} + \frac{5 \cdot 1}{2} - 6 = \frac{-1}{3} + \frac{5}{2} - 6 \] Общий знаменатель — 6: \[ \frac{-2}{6} + \frac{15}{6} - \frac{36}{6} = \frac{-2 + 15 - 36}{6} = \frac{-23}{6} \] --- ### Шаг 7. Итоговая площадь Вычитаем: \[ S = \left( \frac{8}{3} + 22 \right) - \left( \frac{-23}{6} \right) = \frac{8}{3} + 22 + \frac{23}{6} \] Преобразуем все в общие знаменатели — 6: \[ \frac{16}{6} + \frac{132}{6} + \frac{23}{6} = \frac{16 + 132 + 23}{6} = \frac{171}{6} \] Упростим: \[ \frac{171}{6} = \frac{57}{2} \] --- ### **Ответ:** **Площадь ограниченной области равна \(\boxed{\frac{57}{2}}\) или 28,5.** Если нужно, я могу помочь с визуализацией или объяснить подробнее любой шаг!