вычислите площадь фигуры, ограниченную линиями: y=x^2 +5x +6, x=-1, x=2, y=0
Давайте подробно решим задачу по вычислению площади фигуры, ограниченной указанными линиями.
Дано:
- Площадь ограничена кривой \( y = x^2 + 5x + 6 \)
- Вертикальными линиями \( x = -1 \) и \( x = 2 \)
- И линией \( y = 0 \)
Задача — найти площадь области между кривой \( y = x^2 + 5x + 6 \), осью \( x \) и линиями \( x = -1 \) и \( x = 2 \).
Шаг 1. Проверка графика функции
Функция \( y = x^2 + 5x + 6 \) — это парабола:
- Коэффициент перед \( x^2 \) — положительный, значит парабола открыта вверх.
- Найдём её вершину и точки пересечения с осью \( y \).
Шаг 2. Найдём корни функции (точки пересечения с осью \( y = 0 \))
Решим уравнение:
\[ x^2 + 5x + 6 = 0 \]
Используем дискриминант:
\[ D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 \]
Найдём корни:
\[ x = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2} \]
\[ x = \frac{-5 \pm 1}{2} \]
- При \( +1 \):
\[ x = \frac{-5 + 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \]
- При \( -1 \):
\[ x = \frac{-5 - 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \]
Но тут есть небольшая ошибочка — в исходном уравнении корни — это именно \( x = -2 \) и \( x = -3 \). Однако в вычислении корней я ошибся, потому что дискриминант равен 1, и корни:
\[ x = \frac{-5 \pm 1}{2} \]
т.е.
- \( x = \frac{-5 + 1}{2} = -2 \)
- \( x = \frac{-5 - 1}{2} = -3 \)
Вывод: функция пересекает ось \( x \) в точках \( x = -3 \) и \( x = -2 \).
Шаг 3. Проверка расположения области
Нас интересует часть функции между \( x = -1 \) и \( x = 2 \).
Область ограничена:
- слева: \( x = -1 \)
- справа: \( x = 2 \)
- снизу — ось \( y = 0 \)
- сверху — график \( y = x^2 + 5x + 6 \)
Шаг 4. Получение формулы площади
Площадь области:
\[ S = \int_{x = -1}^{2} y \, dx \]
Так как \( y = x^2 + 5x + 6 \):
\[ S = \int_{-1}^{2} (x^2 + 5x + 6) \, dx \]
Шаг 5. Вычисление интеграла
Интегрируем по частям:
\[ \int (x^2 + 5x + 6) dx = \frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} + 6x + C \]
Подставим пределы:
\[ S = \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} + 6x \right]_{-1}^{2} \]
Шаг 6. Подставляем границы
Для \( x=2 \):
\[ \frac{(2)^3}{3} + \frac{5 \cdot (2)^2}{2} + 6 \cdot 2 = \frac{8}{3} + \frac{5 \cdot 4}{2} + 12 = \frac{8}{3} + \frac{20}{2} + 12 \]
Преобразуем:
\[ \frac{8}{3} + 10 + 12 = \frac{8}{3} + 22 \]
Для \( x=-1 \):
\[ \frac{(-1)^3}{3} + \frac{5 \cdot (-1)^2}{2} + 6 \cdot (-1) = \frac{-1}{3} + \frac{5 \cdot 1}{2} - 6 = \frac{-1}{3} + \frac{5}{2} - 6 \]
Общий знаменатель — 6:
\[ \frac{-2}{6} + \frac{15}{6} - \frac{36}{6} = \frac{-2 + 15 - 36}{6} = \frac{-23}{6} \]
Шаг 7. Итоговая площадь
Вычитаем:
\[ S = \left( \frac{8}{3} + 22 \right) - \left( \frac{-23}{6} \right) = \frac{8}{3} + 22 + \frac{23}{6} \]
Преобразуем все в общие знаменатели — 6:
\[ \frac{16}{6} + \frac{132}{6} + \frac{23}{6} = \frac{16 + 132 + 23}{6} = \frac{171}{6} \]
Упростим:
\[ \frac{171}{6} = \frac{57}{2} \]
Ответ:
Площадь ограниченной области равна \(\boxed{\frac{57}{2}}\) или 28,5.
Если нужно, я могу помочь с визуализацией или объяснить подробнее любой шаг!
