9 - x² da y = x + 79 - x² = x + 7 Entonces x = 1 y x = -2 V = π112 (9-x2) ² - (x + 7) 2dx V = π12 (x4-18x² + 81) - (x² + 14x + 49) dx V = pi / 12 (x4 - 19x2 - 14x + 32) dx19 V = x…

Здравствуйте! В вашем сообщении содержится большой объем текста с повторяющимися фрагментами и, похоже, задачей, связанной с вычислением объема фигуры с помощью интеграла (на основе формулы объема тела вращения). Постараюсь помочь разобраться и подробно объяснить решение.

---

Что задаёт задача?

На основе представленного текста можно понять, что речь идет о вычислении объема тела, полученного вращением области вокруг оси (предположительно, вокруг оси \( x \)). Есть несколько выражений, связанных с функциями и интегралами.

---

Основные этапы решения:

1. Определение функций и ограничений области.
2. Формулировка интеграла для вычисления объема тела вращения.
3. Вычисление интеграла.

---

Анализ данных:

• Исходные функции:

  \( y = x + 79 - x^2 \)

  и

  \( y = x + 7 \)

• Значения для \( x \):

  \( x = 1 \) и \( x = -2 \)

• Формулы для объема \( V \) заданы через интегралы с множителем \( \pi \):

  \[ V = \pi \int_{a}^{b} [(функция\ 1)^2 - (функция\ 2)^2] dx \]

  или аналогично.

---

Почему именно эти функции?

Похоже, что область ограничена графиками функций \( y = x + 79 - x^2 \) и \( y = x + 7 \), и взято вращение вокруг оси \( x \). Область между этими графиками ограничена по \( x \) в точках \( -2 \) и \( 1 \).

---

Формула для объема тела вращения (формула washers/discs):

Если вращать область между двумя кривыми \( y_1(x) \) и \( y_2(x) \), то объем:

\[ V = \pi \int_{a}^{b} [(y_1(x))^2 - (y_2(x))^2] dx \]

где \( [a, b] \) — интервал по \( x \).

---

Влияющие параметры:

Даны три варианта интегралов:

1. \(\displaystyle V = \pi \int_{-2}^{1} \left[(9 - x^2)^2 - (x + 7)^2 \right] dx\)

2. \(\displaystyle V = \frac{\pi}{12} \int_{-2}^{1} (x^4 - 18x^2 + 81 - x^2 - 14x - 49) dx\)

3. \(\displaystyle V = \frac{\pi}{12} \int_{-2}^{1} (x^4 - 19x^2 - 14x + 32) dx\)

---

Какой из вариантов правильный?

Рассмотрим первый — он выглядит наиболее логичным, так как он соответствует классической формуле для объема вращения двух функций. Первый вариант:

\[ V = \pi \int_{-2}^1 \left[(9 - x^2)^2 - (x + 7)^2 \right] dx \]

---

Шаги решения:

1. Раскроем скобки внутри интеграла.
2. Проинтегрируем полученное выражение по \( x \).
3. Подставим границы.

---

Дробление задачи:

Раскроем скобки:

\[ (9 - x^2)^2 = 81 - 18x^2 + x^4 \]

\[ (x + 7)^2 = x^2 + 14x + 49 \]

Отсюда:

\[ (9 - x^2)^2 - (x + 7)^2 = (81 - 18x^2 + x^4) - (x^2 + 14x + 49) \]

Объединим подобные члены:

\[ x^4 - 18x^2 - x^2 - 14x + 81 - 49 \]

\[ x^4 - 19x^2 - 14x + 32 \]

Итог:

Объем:

\[ V = \pi \int_{-2}^{1} (x^4 - 19x^2 - 14x + 32) dx \]

---

Решение интеграла:

Запишем интеграл:

\[ V = \pi \int_{-2}^{1} (x^4 - 19x^2 - 14x + 32) dx \]

Рассчитаем по частям:

\[ \int x^4 dx = \frac{x^5}{5} \]

\[ \int x^2 dx = \frac{x^3}{3} \]

\[ \int x dx = \frac{x^2}{2} \]

\[ \int dx = x \]

Подставим границы \( x = -2 \) и \( x = 1 \):

\[ V = \pi \left[ \frac{x^5}{5} - 19 \frac{x^3}{3} - 14 \frac{x^2}{2} + 32x \right]_{-2}^{1} \]

---

Вычислим по значениям границ:

Для \( x=1 \):

\[ \frac{1^5}{5} - 19 \frac{1^3}{3} - 14 \frac{1^2}{2} + 32 \times 1 = \frac{1}{5} - 19 \times \frac{1}{3} - 14 \times \frac{1}{2} + 32 \]

\[ = \frac{1}{5} - \frac{19}{3} - 7 + 32 \]

Приведем к общему знаменателю 15:

\[ = \frac{3}{15} - \frac{95}{15} - \frac{105}{15} + \frac{480}{15} = \left( 3 - 95 - 105 + 480 \right) \div 15 \]

\[ = (3 - 95 - 105 + 480) / 15 = (3 - 200 + 480) / 15 = (283) / 15 \]

---

Для \( x=-2 \):

\[ \frac{(-2)^5}{5} - 19 \frac{(-2)^3}{3} - 14 \frac{(-2)^2}{2} + 32 \times (-2) \]

Вычислим по частям:

\[ (-2)^5 = -32 \\ (-2)^3 = -8 \\ (-2)^2 = 4 \]

Тогда:

\[ -32/5 - 19 \times (-8)/3 - 14 \times 4/2 + 32 \times (-2) \]

\[ = -\frac{32}{5} + \frac{152}{3} - 28 - 64 \]

Общий знаменатель 15:

\[ - \frac{96}{15} + \frac{760}{15} - \frac{420}{15} - \frac{225}{15} \]

Сумма:

\[ (-96 + 760 - 420 - 225) / 15 = (760 - 96 - 420 - 225) / 15 \]

\[ = (760 - 96) = 664, \quad 664 - 420 = 244, \quad 244 - 225 = 19 \]

Итого:

\[ 19/15 \]

---

Итоговое значение:

\[ V = \pi \left( \frac{283}{15} - \frac{19}{15} \right) = \pi \frac{283 - 19}{15} = \pi \frac{264}{15} = \frac{264 \pi}{15} \]

---

Окончательный ответ:

\[ \boxed{ V = \frac{264 \pi}{15} } \]

---

Итог:

Используемый интеграл:

\[ V = \pi \int_{-2}^1 \left[(9 - x^2)^2 - (x+7)^2 \right] dx \]

Результат:

\[ \boxed{V = \frac{264 \pi}{15}} \]

Если вас интересует более детальный разбор или есть вопросы — пишите!