В классе планируется проверочная работа. Каждому школьнику достанется случайное задание на одну из 5 тем. В классе: 10 отличников, которые знают все темы; 5 хорошистов, каждый из…

Давайте решим задачу по шагам, подробно объясняя каждый этап.

Дано:

• Всего учеников:

  • Отличников: 10 человек
  • Хорошистов: 5 человек
  • Троечников: 5 человек

• Всего учеников: \(10 + 5 + 5 = 20\)

• Каждому ученику дается задание по одной из 5 тем, и эти темы распределяются следующим образом:

  • Отличники: знают все 5 тем, то есть любой из 5 тем
  • Хорошисты: знают 3 темы (предположим, что их набор может отличаться, но каждый знает ровно 3 темы, и вероятность того, что задание попало в тему, которую знает данный ученик — равна \(\frac{3}{5}\))
  • Троечники: знают 1 тему (по той же логике, вероятность того, что задание совпадает с их знаниями — \(\frac{1}{5}\))

Задача:

Нужно найти вероятность того, что выбранный ученик знает тему, при условии, что ему досталась тема, которую он знает. То есть — условная вероятность:
\[ P(\text{ученик — отличник} \mid \text{ученик знает тему}) \]

по формуле Байеса:
\[ P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) \times P(A)}{P(B)} \] где:

• \(A\): ученик — отличник
• \(B\): ученик знает тему

Шаг 1. Найдём вероятности \(P(A)\) и \(P(B)\):

• Общая вероятность, что выбран случайный ученик — отличник:
  \[ P(A) = \frac{10}{20} = 0.5 \]
• Вероятность, что выбран случайный ученик — хорошист:
  \[ P(\text{хорошист}) = \frac{5}{20} = 0.25 \]
• Вероятность, что выбран случайный ученик — троечник:
  \[ P(\text{троечник}) = \frac{5}{20} = 0.25 \]

Шаг 2. Найдём \(P(B \mid A)\) — вероятность, что ученик знает тему, при условии, что он — отличник.

Отличники знают все 5 тем, то есть,
\[ P(B \mid A) = 1 \]

Шаг 3. Найдём \(P(B \mid \text{хорошист})\):

Хорошисты знают 3 темы из 5,

• Вероятность, что задание попало в одну из заданных тем:
  \[ P(B \mid \text{хорошист}) = \frac{3}{5} \]

Шаг 4. Найдём \(P(B \mid \text{троечник})\):

Троечники знают только одну тему,

• Вероятность, что задание попало в эту тему:
  \[ P(B \mid \text{троечник}) = \frac{1}{5} \]

Шаг 5. Посчитаем полную вероятность \(P(B)\):

Используем формулу полной вероятности:
\[ P(B) = P(B \mid A)P(A) + P(B \mid \text{хорошист})P(\text{хорошист}) + P(B \mid \text{троечник})P(\text{троечник}) \]

Подставляем значения:
\[ P(B) = (1) \times 0.5 + \left(\frac{3}{5}\right) \times 0.25 + \left(\frac{1}{5}\right) \times 0.25 \]

Выполним вычисления:
\[ P(B) = 0.5 + 0.15 + 0.05 = 0.7 \]

Шаг 6. Подставляем в формулу Байеса:

\[ P(\text{ученик — отличник} \mid \text{знает тему}) = \frac{P(B \mid A) \times P(A)}{P(B)} = \frac{1 \times 0.5}{0.7} = \frac{0.5}{0.7} = \frac{5}{7} \approx 0.7143 \]

Итог:

Вероятность того, что выбранный ученик — отличник, если известно, что он знает тему, равна \(\boxed{\frac{5}{7} \approx 0.7143}\).