Давайте решим задачу по шагам, подробно объясняя каждый этап.
Дано:
Всего учеников:
- Отличников: 10 человек
- Хорошистов: 5 человек
- Троечников: 5 человек
Всего учеников: (10 + 5 + 5 = 20)
Каждому ученику дается задание по одной из 5 тем, и эти темы распределяются следующим образом:
- Отличники: знают все 5 тем, то есть любой из 5 тем
- Хорошисты: знают 3 темы (предположим, что их набор может отличаться, но каждый знает ровно 3 темы, и вероятность того, что задание попало в тему, которую знает данный ученик — равна (\frac{3}{5}))
- Троечники: знают 1 тему (по той же логике, вероятность того, что задание совпадает с их знаниями — (\frac{1}{5}))
Задача:
Нужно найти вероятность того, что выбранный ученик знает тему, при условии, что ему досталась тема, которую он знает. То есть — условная вероятность:
[
P(\text{ученик — отличник} \mid \text{ученик знает тему})
]
по формуле Байеса:
[
P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) \times P(A)}{P(B)}
]
где:
- (A): ученик — отличник
- (B): ученик знает тему
Шаг 1. Найдём вероятности (P(A)) и (P(B)):
- Общая вероятность, что выбран случайный ученик — отличник:
[
P(A) = \frac{10}{20} = 0.5
]
- Вероятность, что выбран случайный ученик — хорошист:
[
P(\text{хорошист}) = \frac{5}{20} = 0.25
]
- Вероятность, что выбран случайный ученик — троечник:
[
P(\text{троечник}) = \frac{5}{20} = 0.25
]
Шаг 2. Найдём (P(B \mid A)) — вероятность, что ученик знает тему, при условии, что он — отличник.
Отличники знают все 5 тем, то есть,
[
P(B \mid A) = 1
]
Шаг 3. Найдём (P(B \mid \text{хорошист})):
Хорошисты знают 3 темы из 5,
- Вероятность, что задание попало в одну из заданных тем:
[
P(B \mid \text{хорошист}) = \frac{3}{5}
]
Шаг 4. Найдём (P(B \mid \text{троечник})):
Троечники знают только одну тему,
- Вероятность, что задание попало в эту тему:
[
P(B \mid \text{троечник}) = \frac{1}{5}
]
Шаг 5. Посчитаем полную вероятность (P(B)):
Используем формулу полной вероятности:
[
P(B) = P(B \mid A)P(A) + P(B \mid \text{хорошист})P(\text{хорошист}) + P(B \mid \text{троечник})P(\text{троечник})
]
Подставляем значения:
[
P(B) = (1) \times 0.5 + \left(\frac{3}{5}\right) \times 0.25 + \left(\frac{1}{5}\right) \times 0.25
]
Выполним вычисления:
[
P(B) = 0.5 + 0.15 + 0.05 = 0.7
]
Шаг 6. Подставляем в формулу Байеса:
[
P(\text{ученик — отличник} \mid \text{знает тему}) = \frac{P(B \mid A) \times P(A)}{P(B)} = \frac{1 \times 0.5}{0.7} = \frac{0.5}{0.7} = \frac{5}{7} \approx 0.7143
]
Итог:
Вероятность того, что выбранный ученик — отличник, если известно, что он знает тему, равна (\boxed{\frac{5}{7} \approx 0.7143}).
