Давайте разберемся с задачей пошагово.
Дано:
- Абсолютно серое тело (имеющее постоянную поглощательную способность, которая равна 10% или 0.1).
- Поглощательная способность не зависит от температуры.
- Длина волны, на которой достигается максимум излучения, уменьшилась на 10%.
- Требуется найти, во сколько раз изменится мощность излучения.
Основные моменты
Планкианская зависимость (закон Вина):
Максимум спектра излучения (λ_max) связана с температурой тела по формуле:
[
\lambda_{max} \propto \frac{1}{T}
]
То есть, уменьшение длины волны на 10% означает, что температура увеличилась.
Изменение λ_max:
Пусть первоначальный максимум длины волны — ( \lambda_0 ),
а новая — ( \lambda_1 = 0.9 \lambda_0 ).
Тогда, по закону Вина:
[
T \propto \frac{1}{\lambda_{max}}
]
Следовательно, новая температура:
[
T_1 = \frac{T_0}{0.9} = \frac{T_0}{0.9} \approx 1.111 T_0
]
То есть, температура увеличилась примерно на 11.1%.
Что влияет на мощность излучения?
Для абсолютно черного тела мощность излучения (по закону Стефана — Больцмана):
[
P_{blackbody} \propto T^4
]
Но у нас тело не полностью черное — оно абсолютно серое при поглощательной способности 10%, что означает, что реальное излучение зависит от его температуры, с учетом коэффициента излучения ( \varepsilon ).
Закон Шеви — Барнье:
[
P = \varepsilon \sigma T^{4}
]
Где:
- ( P ) — мощность излучения
- ( \varepsilon ) — коэффициент излучения (равен поглощательной способности для тела в равновесии)
- ( \sigma ) — постоянная Стефана — Больцмана (~( 5.67 \times 10^{-8} \text{ Вт/(м}^2\text{К}^4) ))
- ( T ) — абсолютная температура
Так как поглощательная способность не меняется, то и коэффициент излучения ( \varepsilon ) постоянен.
Значит, изменение мощности:
[
\frac{P_1}{P_0} = \frac{\varepsilon \sigma T_1^{4}}{\varepsilon \sigma T_0^{4}} = \left(\frac{T_1}{T_0}\right)^4
]
Подставляем выражение для ( T_1 ):
[
\frac{T_1}{T_0} \approx 1.111
]
Следовательно:
[
\frac{P_1}{P_0} \approx (1.111)^4
]
Вычислим:
[
(1.111)^4 \approx 1.111^2 \times 1.111^2
]
[
1.111^2 \approx 1.234
]
Итак,
[
\frac{P_1}{P_0} \approx 1.234 \times 1.234 = 1.522
]
Ответ:
Мощность излучения увеличится примерно в 1.52 раза (или на 52%) при уменьшении длины волны максимум излучения на 10%.
Если нужны дополнительные объяснения — обращайтесь!
