Найти производные функции у=4х⁵-⁴√х³+1/х³-³√3

Давайте решим задачу по поиску производной функции:
\( y = 4x^5 - \sqrt[4]{x^3} + \frac{1}{x^3} - \sqrt[3]{3} \).

Шаг 1: Запись функции

Функция: \[ y = 4x^5 - \sqrt[4]{x^3} + \frac{1}{x^3} - \sqrt[3]{3} \]

Объясним каждую часть:

• \( 4x^5 \)
• \( \sqrt[4]{x^3} \) — четвертая степень корня из \(x^3\)
• \( \frac{1}{x^3} \) — обратное кубическое выражение
• \( \sqrt[3]{3} \) — кубический корень из 3 (константа)

Шаг 2: Перепишем всё в виде степеней

Чтобы проще находить производную, представим каждую часть в виде степеней:

• \( 4x^5 \) — уже в виде степени
• \( \sqrt[4]{x^3} = (x^3)^{1/4} = x^{3/4} \)
• \( \frac{1}{x^3} = x^{-3} \)
• \( \sqrt[3]{3} \) — константа, её производная будет нулём.

Итого:

\[ y = 4x^5 - x^{3/4} + x^{-3} - \sqrt[3]{3} \]

Шаг 3: Находим каждую производную по отдельности

• Производная \( 4x^5 \):

\[ \frac{d}{dx} (4x^5) = 4 \times 5 x^{5-1} = 20x^4 \]

• Производная \( -x^{3/4} \):

\[ \frac{d}{dx} (-x^{3/4}) = - \frac{3}{4} x^{(3/4)-1} = - \frac{3}{4} x^{-1/4} \]

• Производная \( x^{-3} \):

\[ \frac{d}{dx} (x^{-3}) = -3 x^{-3-1} = -3 x^{-4} \]

• Производная \( - \sqrt[3]{3} \):

Это константа, производная равна 0.

Итоговая производная:

\[ \boxed{ y' = 20x^4 - \frac{3}{4} x^{-1/4} - 3 x^{-4} } \]

Итог:

Ответ:

\[ \boxed{ \frac{dy}{dx} = 20x^4 - \frac{3}{4}x^{-1/4} - 3x^{-4} } \]

Если нужно — могу помочь объяснить подробнее каждый шаг!