на склад поступило две партии изделий: первая — 4000 штук, вторая — 6000 штук. Средний процент нестандартных изделий в первой партии составляет 20%, а во второй — 10%. Наудачу…
На склад поступило две партии изделий: первая — 4000 штук, вторая — 6000 штук. Средний процент нестандартных изделий в первой партии составляет 20%, а во второй — 10%. Наудачу взятое со склада изделие оказалось стандартным. Нужно найти вероятность того, что случайно взятое изделие окажется нестандартным
Давайте решим задачу шаг за шагом и подробно объясним каждый этап.
Дано:
- Первая партия: 4000 штук, из них 20% — нестандартные.
- Вторая партия: 6000 штук, из них 10% — нестандартные.
- Выбирается случайное изделие со склада, и оно оказалось стандартным.
- Нужно найти вероятность, что оно было нестандартным.
На самом деле, в условии есть нюанс: указано, что изделие оказалось стандартным, но нам нужно найти вероятность, что оно было нестандартным, учитывая то обстоятельство, что оно оказалось стандартным. Судя по формулировке, скорее всего, имелась в виду, что нужно найти вероятность, что изделие — нестандартное, даже если оно оказалось стандартным. Однако это неправильно. Вероятно, лучше предположить, что задача сформулирована так: найти вероятность того, что выбранное изделие — нестандартное, при условии, что оно оказалось стандартным.
Шаг 1. Построение задачи
Задача — найти условную вероятность:
\[ P(\text{нестандартное} \mid \text{стандартное}) = \frac{P(\text{нестандартное и стандартное})}{P(\text{стандартное})} \]
Но поскольку изделие не может быть одновременно нестандартным и стандартным, то есть:
\[ P(\text{нестандартное и стандартное}) = 0 \]
или, если рассматривать более корректно:
Нужно найти вероятность, что изделие — нестандартное, зная, что оно оказалось стандартным — это некорректно, потому что изделие не может быть одновременно и нестандартным, и стандартным. То есть в условии изложена другая логика.
Вероятно, правильное понимание:
Если изделие было выбрано случайно — оно оказалось стандартным, и требуется определить вероятность, что оно — нестандартное, учитывая, что оно оказалось стандартным — это трюк.
Возможное интерпретирование задачи:
Задача предполагает найти вероятность того, что изделие — нестандартное, при условии, что оно оказалось стандартным.
Несмотря на формулировку, вероятно, правильна цель: найти вероятность того, что изделие — нестандартное, если оно оказалось выбранным случайно и оказалось стандартным.
Но, поскольку изделие не может быть одновременно и стандартным, и нестандартным, возможно, в формулировке речь о том, что изделие — стандартное, а нам нужно определить вероятность, что оно — из первой или второй партии.
Переформируем задачу:
Переформулирование задачи
- Дано: 2 партии изделий с разными процентами нестандартных изделий.
- Задача: случайно выбранное изделие — стандартное; нужно найти вероятность, что оно было из первой партии, или из второй, или — вероятность того, что оно было нестандартным.
Проще говоря:
Чтобы найти вероятность того, что изделие — нестандартное, если оно было выбрано случайно, мы можем воспользоваться теоремой полной вероятности.
Шаг 2. Определим вероятности:
Обозначим:
- \(A_1\): изделие из первой партии.
- \(A_2\): изделие из второй партии.
- \(B\): изделие — стандартное.
- \(N_1\): изделие — нестандартное из первой партии.
- \(N_2\): изделие — нестандартное из второй партии.
Тогда:
\[ P(A_1) = \frac{4000}{4000 + 6000} = \frac{4000}{10000} = 0.4 \] \[ P(A_2) = \frac{6000}{10000} = 0.6 \]
Вероятности выбрать нестандартное изделие из каждой партии:
\[ P(N_1 \mid A_1) = 0.2 \quad \Rightarrow \quad P(\text{стандартное из первой партии}) = 1 - 0.2 = 0.8 \] \[ P(N_2 \mid A_2) = 0.1 \quad \Rightarrow \quad P(\text{стандартное из второй партии}) = 1 - 0.1 = 0.9 \]
Шаг 3. Вероятность выбрать стандартное изделие:
Используем формулу полной вероятности:
\[ P(B) = P(B \mid A_1) P(A_1) + P(B \mid A_2) P(A_2) \]
Где:
\[ P(B \mid A_1) = 0.8 \] \[ P(B \mid A_2) = 0.9 \]
Подставляем:
\[ P(B) = 0.8 \times 0.4 + 0.9 \times 0.6 = 0.32 + 0.54 = 0.86 \]
Шаг 4. Найти вероятность, что изделие — нестандартное, при условии, что оно — стандартное:
Вы хотите найти вероятность, что выбранное изделие было из первой партии или второй, при условии, что оно — стандартное. Или, если задача — найти вероятность того, что изделие — из первой или второй партии при условии, что оно — стандартное.
Или, по смыслу задачи, нужно найти вероятность, что изделие — нестандартное, =
\[ P(\text{нестандартное} \mid B) = \frac{P(\text{нестандартное и стандартное)} = 0 \]
поскольку изделия не могут быть и стандартными, и нестандартными.
Итог: если условие — вероятность, что изделие — нестандартное, при условии, что оно — стандартное, то это 0.
Возможно, в вопросе имелся в виду другой нюанс — например, вероятность того, что изделие, выбранное из склада, оказалось нестандартным, при условии, что оно — стандартное. Тогда это логично:
Но тут, очевидно, должна быть односторонняя задача: вероятно, в задаче искается вероятность "сколько изделий из всей совокупности — нестандартных".
Итоговая формула:
- Вероятность, что случайно выбранное изделие — нестандартное:
\[ P(\text{нестандартное}) = P(A_1) P(N_1 \mid A_1) + P(A_2) P(N_2 \mid A_2) = 0.4 \times 0.2 + 0.6 \times 0.1 = 0.08 + 0.06 = 0.14 \]
Ответ:
Вероятность того, что выбранное изделие — нестандартное, равна 14%.
Если же конкретно нужно было найти вероятность того, встав вопрос "при условии, что изделие — стандартное", тогда:
\[ P(\text{нестандартное} \mid \text{стандартное}) = 0 \]
Пожалуйста, уточните, если требуется более конкретное решение или есть дополнительные условия!
