Поршень двигателя совершает колебания с частотой 8,3гц по закону синуса. Начальная фаза колебаний равны нулю. Поршень сместится от положения равновесия на расстояние, равное…

Конечно! Давайте подробно разберем задачу.

Дано:

• Частота колебаний, \(f = 8{,}3 \text{ Гц}\)
• Начальная фаза \(\varphi_0 = 0\) (колебания начинаются с нуля)
• Законом дифференции — синусоидальные колебания
• Нужно найти время, за которое поршень сместится от положения равновесия до расстояния, равного половине амплитуды.

1. Определим основные характеристики

• Амплитуда колебаний: обозначим её как \(A\).

• Функция смещения:
  Положение поршня в любой момент времени \(t\) задается уравнением:
  \[ x(t) = A \sin(\omega t + \varphi_0) \] где \(\omega\) — циклическая частота, связанная с частотой \(f\):
  \[ \omega = 2\pi f \]

• Начальная фаза: \(\varphi_0=0\), значит:
  \[ x(t) = A \sin(\omega t) \]

2. Определим, когда поршень достигнет половины амплитуды

Мы ищем момент времени \(t\), при котором:
\[ x(t) = \frac{A}{2} \]

Подставим уравнение:
\[ A \sin(\omega t) = \frac{A}{2} \]

Делим обе части на \(A\):
\[ \sin(\omega t) = \frac{1}{2} \]

Значение \(\sin(\omega t) = \frac{1}{2}\) достигается при:
\[ \omega t = \arcsin{\frac{1}{2}} + 2k\pi \quad \text{или} \quad \omega t = \pi - \arcsin{\frac{1}{2}} + 2k\pi \]

где \(k\) — целое число.

3. Вычислим \(\arcsin{\frac{1}{2}}\)

\[ \arcsin{\frac{1}{2}} = \frac{\pi}{6} \]

значит, возможные моменты времени:
\[ \omega t = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad \omega t = \pi - \frac{\pi}{6} + 2k\pi = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \]

Поскольку мы ищем первую точку (минимальное время), соответствующую движению поршня от нулевого смещения, возьмем \(k=0\):

\[ \omega t = \frac{\pi}{6} \quad \text{или} \quad \omega t = \frac{5\pi}{6} \]

Первая — это момент, когда поршень движется от положения равновесия к максимуму, вторая — когда он движется обратно к положительному значению.

4. Находим соответствующее время

\[ t = \frac{\text{угловое значение}}{\omega} \]

\[ \omega = 2\pi f = 2\pi \times 8{,}3 \]

Вычислим \(\omega\):

\[ \omega \approx 2 \times 3.1416 \times 8.3 \approx 6.2832 \times 8.3 \approx 52.2 \text{ рад/с} \]

Теперь, для первого случая (\(\pi/6\)):

\[ t_1 = \frac{\pi/6}{\omega} \approx \frac{3.1416/6}{52.2} \approx \frac{0.5236}{52.2} \approx 0.0100 \text{ с} \]

Для второго случая (\(5\pi/6\)):

\[ t_2 = \frac{5\pi/6}{\omega} \approx \frac{5 \times 3.1416/6}{52.2} \approx \frac{2.618}{52.2} \approx 0.0501 \text{ с} \]

Ответ:

Поршень достигнет расстояния, равного половине амплитуды, примерно через 0.01 секунд после начала колебаний.

Если нужно было понять, как меняется положение или есть дополнительные вопросы — скажите!