Поршень двигателя совершает колебания с частотой 8,3гц по закону синуса. Начальная фаза колебаний равны нулю. Поршень сместится от положения равновесия на расстояние, равное половине амплитуды колебаний за время равное

Конечно! Давайте подробно разберем задачу. --- **Дано:** - Частота колебаний, \(f = 8{,}3 \text{ Гц}\) - Начальная фаза \(\varphi_0 = 0\) (колебания начинаются с нуля) - Законом дифференции — синусоидальные колебания - Нужно найти время, за которое поршень сместится от положения равновесия до расстояния, равного половине амплитуды. --- ### 1. Определим основные характеристики - **Амплитуда колебаний:** обозначим её как \(A\). - **Функция смещения:** Положение поршня в любой момент времени \(t\) задается уравнением: \[ x(t) = A \sin(\omega t + \varphi_0) \] где \(\omega\) — циклическая частота, связанная с частотой \(f\): \[ \omega = 2\pi f \] - **Начальная фаза:** \(\varphi_0=0\), значит: \[ x(t) = A \sin(\omega t) \] --- ### 2. Определим, когда поршень достигнет половины амплитуды Мы ищем момент времени \(t\), при котором: \[ x(t) = \frac{A}{2} \] Подставим уравнение: \[ A \sin(\omega t) = \frac{A}{2} \] Делим обе части на \(A\): \[ \sin(\omega t) = \frac{1}{2} \] Значение \(\sin(\omega t) = \frac{1}{2}\) достигается при: \[ \omega t = \arcsin{\frac{1}{2}} + 2k\pi \quad \text{или} \quad \omega t = \pi - \arcsin{\frac{1}{2}} + 2k\pi \] где \(k\) — целое число. --- ### 3. Вычислим \(\arcsin{\frac{1}{2}}\) \[ \arcsin{\frac{1}{2}} = \frac{\pi}{6} \] значит, возможные моменты времени: \[ \omega t = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad \omega t = \pi - \frac{\pi}{6} + 2k\pi = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \] Поскольку мы ищем первую точку (минимальное время), соответствующую движению поршня от нулевого смещения, возьмем \(k=0\): \[ \omega t = \frac{\pi}{6} \quad \text{или} \quad \omega t = \frac{5\pi}{6} \] Первая — это момент, когда поршень движется от положения равновесия к максимуму, вторая — когда он движется обратно к положительному значению. --- ### 4. Находим соответствующее время \[ t = \frac{\text{угловое значение}}{\omega} \] \[ \omega = 2\pi f = 2\pi \times 8{,}3 \] Вычислим \(\omega\): \[ \omega \approx 2 \times 3.1416 \times 8.3 \approx 6.2832 \times 8.3 \approx 52.2 \text{ рад/с} \] Теперь, для первого случая (\(\pi/6\)): \[ t_1 = \frac{\pi/6}{\omega} \approx \frac{3.1416/6}{52.2} \approx \frac{0.5236}{52.2} \approx 0.0100 \text{ с} \] Для второго случая (\(5\pi/6\)): \[ t_2 = \frac{5\pi/6}{\omega} \approx \frac{5 \times 3.1416/6}{52.2} \approx \frac{2.618}{52.2} \approx 0.0501 \text{ с} \] --- ### **Ответ:** Поршень достигнет расстояния, равного половине амплитуды, примерно через **0.01 секунд** после начала колебаний. --- Если нужно было понять, как меняется положение или есть дополнительные вопросы — скажите!