Реши логорифм

Конечно! Давайте решим это логарифмическое уравнение пошагово.

Дано:
\[ \log_x (2x^2 - 4x + 3) = 2 \]

Шаг 1: Понимание уравнения

Логарифм по основанию \( x \) равен 2, значит по определению логарифма:

\[ x^2 = 2x^2 - 4x + 3 \]

но для ясности лучше использовать определение логарифма:
\[ \log_x (A) = B \iff x^B = A \]

где \(A = 2x^2 - 4x + 3\), а \(B=2\).

То есть:

\[ x^2 = 2x^2 - 4x + 3 \]

Шаг 2: Приведение к уравнению

Перенесем все в левую часть:

\[ x^2 - 2x^2 + 4x - 3 = 0 \]

или

\[ - x^2 + 4x - 3 = 0 \]

Упростим уравнение, умножив обе части на -1:

\[ x^2 - 4x + 3 = 0 \]

Это квадратное уравнение:

\[ x^2 - 4x + 3 = 0 \]

Шаг 3: Решение квадратного уравнения

Используем формулу:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

где \(a=1\), \(b=-4\), \(c=3\).

Вычислим дискриминант:

\[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \]

Найдем корни:

\[ x = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2} \]

1. При plus:

\[ x = \frac{4 + 2}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]

2. При minus:

\[ x = \frac{4 - 2}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]

Шаг 4: Проверка условий логарифма

Параметры логарифма требуют:

• основание \(x > 0\)
• основание \(x \neq 1\), потому что логарифм с основанием 1 не определен
• выражение под логарифмом \(2x^2 - 4x + 3 > 0\)

Проверим каждое из решений:

• \(x=3\)

Тогда:

\[ 2(3)^2 - 4(3) + 3 = 2 \cdot 9 - 12 + 3 = 18 - 12 + 3 = 9 > 0 \]

и основание \(x=3 > 0\), и \(x \neq 1\), условия выполнены.

• \(x=1\)

Тогда:

\[ 2(1)^2 - 4(1) + 3 = 2 - 4 + 3 = 1 > 0 \]

Но основание \(x=1\), что недопустимо для логарифма. Поэтому это решение исключается.

ИТОГ:

\[ \boxed{ \text{Ответ: } x=3 } \]

Если есть дополнительные вопросы или нужно разъяснение — пишите!