Даны функция спроса на продукцию монополиста Q = 18 – P и функция общих затрат TC = 20 + 2Q +Q2. Сколько теряет монополист, если правительственные органы ограничат цену на его…
Даны функция спроса на продукцию монополиста Q = 18 – P и функция общих затрат TC = 20 + 2Q +Q2. Сколько теряет монополист, если правительственные органы ограничат цену на его продукцию уровнем 12 денежных единиц
Давайте подробно решим задачу.
Дано:
- Функция спроса: \( Q = 18 - P \)
- Функция общих затрат: \( TC = 20 + 2Q + Q^2 \)
- Максимальная цена без ограничений: найдём её из функции спроса.
- Ограничение цены: \( P = 12 \)
Шаг 1. Найдём исходный объём продаж и прибыль без ограничения
Из функции спроса выразим цену:
\( P = 18 - Q \)Найдём уровень выпуска \( Q_{max} \) и цену \( P_{max} \):
При этом монополист устанавливает такую цену, чтобы максимизировать прибыль.
Для этого сначала найдём функцию выручки \( R(Q) \): \[ R(Q) = P \times Q = (18 - Q) \times Q = 18Q - Q^2 \]
Функция издержек:
\[ TC(Q) = 20 + 2Q + Q^2 \]Прибыль \( \pi(Q) \): \[ \pi(Q) = R(Q) - TC(Q) = (18Q - Q^2) - (20 + 2Q + Q^2) = 18Q - Q^2 - 20 - 2Q - Q^2 \]
Объединим подобные: \[ \pi(Q) = (18Q - 2Q) - (Q^2 + Q^2) - 20 = 16Q - 2Q^2 - 20 \]
Найдём \( Q \), который максимизирует прибыль, поставим производную равной нулю: \[ \frac{d\pi}{dQ} = 16 - 4Q = 0 \] \[ 4Q = 16 \Rightarrow Q_{opt} = 4 \]
Найдём цену: \[ P_{max} = 18 - Q_{opt} = 18 - 4 = 14 \]
Определим прибыль при этом объёме: \[ R = 18 \times 4 - 4^2 = 72 - 16 = 56 \]
\[ TC(4) = 20 + 2 \times 4 + 4^2 = 20 + 8 + 16 = 44 \]
\[ \pi_{max} = R - TC = 56 - 44 = 12 \]
Стоимость (выгода) без ограничения и с оптимальным уровнем выпуска: 12 денежных единиц.
Шаг 2. Ограничение цены: \( P \leq 12 \)
Под ограничением цена фиксирована на уровне \( P = 12 \).
Определим объем продаж при цене 12: \[ Q_{new} = 18 - P = 18 - 12 = 6 \]
Рассчитаем доход: \[ R_{new} = P \times Q = 12 \times 6 = 72 \]
Издержки при этом объёме: \[ TC(6) = 20 + 2 \times 6 + 6^2 = 20 + 12 + 36 = 68 \]
Прибыль при новом ограничении: \[ \pi_{new} = R_{new} - TC(6) = 72 - 68 = 4 \]
Шаг 3. Рассчитаем убыток (потерю монополиста)
- Без ограничения (при оптимальном выпуске): прибыль = 12
- При ограничении цены: прибыль = 4
Потеря: \[ \text{Убыток} = 12 - 4 = 8 \]
Ответ:
Монополист при ограничении цены уровнем 12 единиц теряет 8 денежных единиц.
Если нужно, я могу подготовить подробное объяснение по любому из этапов!
