Даны функция спроса на продукцию монополиста Q = 18 – P и функция общих затрат TC = 20 + 2Q +Q2. Сколько теряет монополист, если правительственные органы ограничат цену на его продукцию уровнем 12 денежных единиц

Давайте подробно решим задачу. **Дано:** - Функция спроса: \( Q = 18 - P \) - Функция общих затрат: \( TC = 20 + 2Q + Q^2 \) - Максимальная цена без ограничений: найдём её из функции спроса. - Ограничение цены: \( P = 12 \) **Шаг 1. Найдём исходный объём продаж и прибыль без ограничения** 1. Из функции спроса выразим цену: \( P = 18 - Q \) 2. Найдём уровень выпуска \( Q_{max} \) и цену \( P_{max} \): При этом монополист устанавливает такую цену, чтобы максимизировать прибыль. Для этого сначала найдём функцию выручки \( R(Q) \): \[ R(Q) = P \times Q = (18 - Q) \times Q = 18Q - Q^2 \] 3. Функция издержек: \[ TC(Q) = 20 + 2Q + Q^2 \] 4. Прибыль \( \pi(Q) \): \[ \pi(Q) = R(Q) - TC(Q) = (18Q - Q^2) - (20 + 2Q + Q^2) = 18Q - Q^2 - 20 - 2Q - Q^2 \] Объединим подобные: \[ \pi(Q) = (18Q - 2Q) - (Q^2 + Q^2) - 20 = 16Q - 2Q^2 - 20 \] 5. Найдём \( Q \), который максимизирует прибыль, поставим производную равной нулю: \[ \frac{d\pi}{dQ} = 16 - 4Q = 0 \] \[ 4Q = 16 \Rightarrow Q_{opt} = 4 \] 6. Найдём цену: \[ P_{max} = 18 - Q_{opt} = 18 - 4 = 14 \] 7. Определим прибыль при этом объёме: \[ R = 18 \times 4 - 4^2 = 72 - 16 = 56 \] \[ TC(4) = 20 + 2 \times 4 + 4^2 = 20 + 8 + 16 = 44 \] \[ \pi_{max} = R - TC = 56 - 44 = 12 \] **Стоимость (выгода) без ограничения и с оптимальным уровнем выпуска: 12 денежных единиц.** --- **Шаг 2. Ограничение цены: \( P \leq 12 \)** Под ограничением цена фиксирована на уровне \( P = 12 \). 1. Определим объем продаж при цене 12: \[ Q_{new} = 18 - P = 18 - 12 = 6 \] 2. Рассчитаем доход: \[ R_{new} = P \times Q = 12 \times 6 = 72 \] 3. Издержки при этом объёме: \[ TC(6) = 20 + 2 \times 6 + 6^2 = 20 + 12 + 36 = 68 \] 4. Прибыль при новом ограничении: \[ \pi_{new} = R_{new} - TC(6) = 72 - 68 = 4 \] --- **Шаг 3. Рассчитаем убыток (потерю монополиста)** - Без ограничения (при оптимальном выпуске): прибыль = 12 - При ограничении цены: прибыль = 4 **Потеря:** \[ \text{Убыток} = 12 - 4 = 8 \] **Ответ:** Монополист при ограничении цены уровнем 12 единиц теряет **8 денежных единиц**. --- Если нужно, я могу подготовить подробное объяснение по любому из этапов!