Общие затраты фирмы, действующей на рынке совершенной конкуренции, составляют Q3 - 12Q2 + 200Q + 150 000. При какой цене фирме становится невыгодным работать на этом рынке в краткосрочном периоде?
Ответ нейросети
05 июля 2025 16:38
Давайте подробно разберем задачу.
Дано: функцию общих затрат фирмы (Total Costs, TC) в зависимости от объема производства Q:
[
TC(Q) = Q^3 - 12Q^2 + 200Q + 150,000
]
Задача: определить цену, при которой фирме становится невыгодно работать в краткосрочном периоде.
Шаг 1. Понять, когда фирма выходит из рынка в условиях совершенной конкуренции
В условиях совершенной конкуренции фирма — цена равна её предельным издержкам (MC). В краткосрочном периоде фирме нерентабельно работать, если цена ниже минимальных средних издержек (AC), то есть чистая прибыль становится отрицательной.
Вероятнее всего, на границе между выгодным и невыгодным состоянием цена равна точке минимумов средних издержек.
Шаг 2. Найти функцию средних издержек (AC)
Средние издержки (Average Costs, AC):
[
AC(Q) = \frac{TC(Q)}{Q}
]
Подставляем:
[
AC(Q) = \frac{Q^3 - 12Q^2 + 200Q + 150,000}{Q}
]
Упростим:
[
AC(Q) = Q^2 - 12Q + 200 + \frac{150,000}{Q}
]
Шаг 3. Найти минимум функции AC (чтобы определить минимальные средние издержки)
Минимум AC достигается, когда его производная равна нулю.
Вычислим первую производную (AC'(Q)):
[ AC(Q) = Q^2 - 12Q + 200 + \frac{150,000}{Q} ]
Следовательно:
[
AC'(Q) = 2Q - 12 - \frac{150,000}{Q^2}
]
Объяснение:
- Производная (Q^2) — (2Q)
- Производная (-12Q) — (-12)
- Производная постоянной 200 — 0
- Производная (\frac{150,000}{Q}) — (-\frac{150,000}{Q^2})
Обратите внимание, тут знак минус, потому что это производная (\frac{A}{Q}):
[ \frac{d}{dQ} \left(\frac{A}{Q}\right) = - \frac{A}{Q^2} ]
Шаг 4. Найти (Q), при котором (AC'(Q) = 0)
Решим уравнение:
[
2Q - 12 - \frac{150,000}{Q^2} = 0
]
Переносим все в левую сторону:
[
2Q - 12 = \frac{150,000}{Q^2}
]
Умножим обе стороны на (Q^2), чтобы избавиться от дроби:
[
(2Q -12)Q^2 = 150,000
]
Раскроем скобки:
[
2Q \cdot Q^2 - 12 Q^2 = 150,000
]
[
2 Q^3 - 12 Q^2 = 150,000
]
Разделим обе части уравнения на 2:
[
Q^3 - 6 Q^2 = 75,000
]
Теперь представим в виде уравнения:
[
Q^3 - 6 Q^2 - 75,000 = 0
]
Шаг 5. Решение кубического уравнения
Это уравнение относительно (Q). Попробуем оценить корень при помощи приближения.
Границы:
- При (Q=0): (-75,000) — отрицательное
- При большом (Q), например (Q=50):
[ 50^3 - 6 \times 50^2 = 125,000 - 6 \times 2,500 = 125,000 - 15,000 = 110,000 ] Всё равно больше 75 000, значит корень где-то между 30 и 50.
Пробуем (Q=30):
[
30^3 - 6 \times 30^2 = 27,000 - 6 \times 900 = 27,000 - 5,400 = 21,600
]
Меньше 75 000, значит корень между 30 и 50.
Пробуем (Q=40):
[
40^3 - 6 \times 40^2 = 64,000 - 6 \times 1,600= 64,000 - 9,600= 54,400
]
Меньше 75 000, ищем больше 40.
Пробуем (Q=45):
[
45^3 - 6 \times 45^2= 91,125 - 6 \times 2,025= 91,125 - 12,150= 78,975
]
Больше 75 000, значит между 40 и 45.
Пробуем (Q=43):
[
43^3 = 79,507,\quad 43^2= 1,849
]
[
79,507 - 6 \times 1,849= 79,507 - 11,094= 68,413
]
Меньше 75 000, ищем между 43 и 45.
Пробуем (Q=44):
[
44^3= 85,184,\quad 44^2=1,936
]
[
85,184 - 6 \times 1,936= 85,184 - 11,616= 73,568
]
Меньше 75 000, еще чуть больше 44.
Пробуем (Q=44.5):
[
44.5^3= 88,336,\quad 44.5^2= 1,980
]
[
88,336 - 6 \times 1,980= 88,336 - 11,880= 76,456
]
Чуть больше 75 000.
Теперь между 44 и 44.5. Приблизительно около (Q\approx 44.3 - 44.4). Для практических целей итог можно оставить около 44.3.
Шаг 6. Вычислить цену (P) при минимальных средних издержках
Цена при минимуме средних издержек равна (AC(Q)) в точке данной (Q \approx 44.3).
Подставим (Q \approx 44.3) в функцию (AC(Q)):
[ AC(44.3) \approx (44.3)^2 - 12 \times 44.3 + 200 + \frac{150,000}{44.3} ]
Вычислим шаг за шагом:
(44.3^2 \approx 1964.5)
(-12 \times 44.3 \approx -531.6)
(200)
(\frac{150,000}{44.3} \approx 3384.2)
Теперь складываем все:
[ 1964.5 - 531.6 + 200 + 3384.2 \approx 1964.5 - 531.6 + 200 + 3384.2 ]
[ = (1964.5 - 531.6) + (200 + 3384.2) = 1432.9 + 3584.2 = 5017.1 ]
Итог:
- Минимальные средние издержки — примерно 5017 рублей за единицу продукции.
Ответ:
Фирме становится невыгодно работать, когда цена опускается ниже приблизительно 5017 рублей.
Если нужна более точная оценка или дополнительные детали — обращайтесь!
Понравился ответ?
Задай свой вопрос
Напиши любую задачу или вопрос, а нейросеть её решит
