Общие затраты фирмы, действующей на рынке совершенной конкуренции, составляют Q3 - 12Q2 + 200Q + 150 000. При какой цене фирме становится невыгодным работать на этом рынке в…

Давайте подробно разберем задачу.

Дано: функцию общих затрат фирмы (Total Costs, TC) в зависимости от объема производства Q:
\[ TC(Q) = Q^3 - 12Q^2 + 200Q + 150\,000 \]

Задача: определить цену, при которой фирме становится невыгодно работать в краткосрочном периоде.

---

Шаг 1. Понять, когда фирма выходит из рынка в условиях совершенной конкуренции

В условиях совершенной конкуренции фирма — цена равна её предельным издержкам (MC). В краткосрочном периоде фирме нерентабельно работать, если цена ниже минимальных средних издержек (AC), то есть чистая прибыль становится отрицательной.

Вероятнее всего, на границе между выгодным и невыгодным состоянием цена равна точке минимумов средних издержек.

---

Шаг 2. Найти функцию средних издержек (AC)

Средние издержки (Average Costs, AC):
\[ AC(Q) = \frac{TC(Q)}{Q} \]

Подставляем:
\[ AC(Q) = \frac{Q^3 - 12Q^2 + 200Q + 150\,000}{Q} \]

Упростим:
\[ AC(Q) = Q^2 - 12Q + 200 + \frac{150\,000}{Q} \]

---

Шаг 3. Найти минимум функции AC (чтобы определить минимальные средние издержки)

Минимум AC достигается, когда его производная равна нулю.

Вычислим первую производную \(AC'(Q)\):

\[ AC(Q) = Q^2 - 12Q + 200 + \frac{150\,000}{Q} \]

Следовательно:
\[ AC'(Q) = 2Q - 12 - \frac{150\,000}{Q^2} \]

Объяснение:

• Производная \(Q^2\) — \(2Q\)
• Производная \(-12Q\) — \(-12\)
• Производная постоянной 200 — 0
• Производная \(\frac{150\,000}{Q}\) — \(-\frac{150\,000}{Q^2}\)

Обратите внимание, тут знак минус, потому что это производная \(\frac{A}{Q}\):

\[ \frac{d}{dQ} \left(\frac{A}{Q}\right) = - \frac{A}{Q^2} \]

---

Шаг 4. Найти \(Q\), при котором \(AC'(Q) = 0\)

Решим уравнение:
\[ 2Q - 12 - \frac{150\,000}{Q^2} = 0 \]

Переносим все в левую сторону:
\[ 2Q - 12 = \frac{150\,000}{Q^2} \]

Умножим обе стороны на \(Q^2\), чтобы избавиться от дроби:
\[ (2Q -12)Q^2 = 150\,000 \]

Раскроем скобки:
\[ 2Q \cdot Q^2 - 12 Q^2 = 150\,000 \] \[ 2 Q^3 - 12 Q^2 = 150\,000 \]

Разделим обе части уравнения на 2:
\[ Q^3 - 6 Q^2 = 75\,000 \]

Теперь представим в виде уравнения:
\[ Q^3 - 6 Q^2 - 75\,000 = 0 \]

---

Шаг 5. Решение кубического уравнения

Это уравнение относительно \(Q\). Попробуем оценить корень при помощи приближения.

Границы:

• При \(Q=0\): \(-75\,000\) — отрицательное
• При большом \(Q\), например \(Q=50\):
  \[ 50^3 - 6 \times 50^2 = 125\,000 - 6 \times 2\,500 = 125\,000 - 15\,000 = 110\,000 \] Всё равно больше 75 000, значит корень где-то между 30 и 50.

Пробуем \(Q=30\):
\[ 30^3 - 6 \times 30^2 = 27\,000 - 6 \times 900 = 27\,000 - 5\,400 = 21\,600 \] Меньше 75 000, значит корень между 30 и 50.

Пробуем \(Q=40\):
\[ 40^3 - 6 \times 40^2 = 64\,000 - 6 \times 1\,600= 64\,000 - 9\,600= 54\,400 \] Меньше 75 000, ищем больше 40.

Пробуем \(Q=45\):
\[ 45^3 - 6 \times 45^2= 91\,125 - 6 \times 2\,025= 91\,125 - 12\,150= 78\,975 \] Больше 75 000, значит между 40 и 45.

Пробуем \(Q=43\):
\[ 43^3 = 79\,507,\quad 43^2= 1\,849 \] \[ 79\,507 - 6 \times 1\,849= 79\,507 - 11\,094= 68\,413 \] Меньше 75 000, ищем между 43 и 45.

Пробуем \(Q=44\):
\[ 44^3= 85\,184,\quad 44^2=1\,936 \] \[ 85\,184 - 6 \times 1\,936= 85\,184 - 11\,616= 73\,568 \] Меньше 75 000, еще чуть больше 44.

Пробуем \(Q=44.5\):
\[ 44.5^3= 88\,336,\quad 44.5^2= 1\,980 \] \[ 88\,336 - 6 \times 1\,980= 88\,336 - 11\,880= 76\,456 \] Чуть больше 75 000.

Теперь между 44 и 44.5. Приблизительно около \(Q\approx 44.3 - 44.4\). Для практических целей итог можно оставить около 44.3.

---

Шаг 6. Вычислить цену (P) при минимальных средних издержках

Цена при минимуме средних издержек равна \(AC(Q)\) в точке данной \(Q \approx 44.3\).

Подставим \(Q \approx 44.3\) в функцию \(AC(Q)\):

\[ AC(44.3) \approx (44.3)^2 - 12 \times 44.3 + 200 + \frac{150\,000}{44.3} \]

Вычислим шаг за шагом:

1. \(44.3^2 \approx 1964.5\)

2. \(-12 \times 44.3 \approx -531.6\)

3. \(200\)

4. \(\frac{150\,000}{44.3} \approx 3384.2\)

Теперь складываем все:

\[ 1964.5 - 531.6 + 200 + 3384.2 \approx 1964.5 - 531.6 + 200 + 3384.2 \]

\[ = (1964.5 - 531.6) + (200 + 3384.2) = 1432.9 + 3584.2 = 5017.1 \]

Итог:

• Минимальные средние издержки — примерно 5017 рублей за единицу продукции.

---

Ответ:

Фирме становится невыгодно работать, когда цена опускается ниже приблизительно 5017 рублей.

---

Если нужна более точная оценка или дополнительные детали — обращайтесь!