В прямоугольный треугольник со сторонами 3 , 4 , 5 вписана окружность с центром I . Найдите расстояние от точки I до медианы, проведённой к гипотенузе треугольника.

Давайте подробно разберём задачу.

Дано:

• Прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5.
• Вписанная окружность с центром \( I \).
• Нужно найти расстояние от точки \( I \) до медианы, проведённой к гипотенузе.

Шаг 1: Построение и основные свойства треугольника

Треугольник со сторонами \( 3, 4, 5 \) — прямоугольный, гипотенуза — сторона 5.
Обозначим:

• Катеты \( AB = 3 \), \( AC = 4 \), гипотенуза \( BC = 5 \).

Пусть точка \( A \) — вершина прямого угла, тогда:

• \( AB = 3 \), \( AC = 4 \), \( BC = 5 \).

Шаг 2: Координаты вершин

Для удобства возьмём координаты:

• \( A (0,0) \),
• \( B (3,0) \),
• \( C (0,4) \).

Проверим: длины сторон:

• \( AB = \sqrt{(3-0)^2 + (0-0)^2} = 3 \),
• \( AC = \sqrt{(0-0)^2 + (4-0)^2} = 4 \),
• \( BC = \sqrt{(3-0)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5 \).

Все верно.

Шаг 3: Найдём центр вписанной окружности \( I \)

Формула:

• Центр вписанной окружности (инцентр) — точка пересечения биссектрис.
• Координаты инцентра \( I \) можно найти по формуле:
  \[ x_I = \frac{a \cdot x_A + b \cdot x_B + c \cdot x_C}{a + b + c}, \quad y_I = \frac{a \cdot y_A + b \cdot y_B + c \cdot y_C}{a + b + c} \] где \( a, b, c \) — длины сторон, противоположные вершинам \( A, B, C \).

У нас:

• \( a = BC = 5 \) (против \( A \))
• \( b = AC = 4 \) (против \( B \))
• \( c = AB = 3 \) (против \( C \))

Подставляем:
\[ x_I = \frac{5 \cdot 0 + 4 \cdot 3 + 3 \cdot 0}{5 + 4 + 3} = \frac{0 + 12 + 0}{12} = 1 \] \[ y_I = \frac{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 3 \cdot 4}{12} = \frac{0 + 0 + 12}{12} = 1 \]

Итак, центр вписанной окружности: \[ I (1, 1) \]

Шаг 4: Находим медиану, проведённую к гипотенузе \( BC \)

Гипотенуза \( BC \) соединяет точки:

• \( B (3, 0) \),
• \( C (0, 4) \).

Средняя точка \(\mathrm{M}\) этой стороны:
\[ M \left( \frac{3+0}{2}, \frac{0+4}{2} \right) = (1.5, 2) \]

Медиана — это отрезок \( AM \).

Шаг 5: Определим расстояние от \( I (1, 1) \) до точки \( M (1.5, 2) \)

Расстояние между точками:
\[ d = \sqrt{(x_M - x_I)^2 + (y_M - y_I)^2} = \sqrt{(1.5 - 1)^2 + (2 - 1)^2} \] \[ d = \sqrt{(0.5)^2 + 1^2} = \sqrt{0.25 + 1} = \sqrt{1.25} = \frac{\sqrt{5}}{2} \]

Ответ:

Расстояние от центра вписанной окружности \( I \) до медианы, проведённой к гипотенузе, равно \(\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}\).