запишите уравнение касательной к окружности (x+3)^2+(y-9)^2=16640 в точке M0(125,-7) в виде y=kx+d. в ответ введите через точку с запятой значения: k;d.

Давайте пошагово решим задачу.

Шаг 1: Запишем уравнение окружности

Дано:
\[(x+3)^2 + (y-9)^2 = 16640\]

Шаг 2: Проверим, подключена ли точка к окружности

Нам нужно найти касательную к окружности в точке M0(125, -7). Но чтобы касательная действительно была к окружности, точка M0 должна лежать на окружности или же мы ищем касательную в произвольной точке, которая должна удовлетворять уравнению окружности.

Проверим, находится ли точка M0 на окружности:

\[ (x+3)^2 + (y-9)^2 = (125+3)^2 + (-7-9)^2 = (128)^2 + (-16)^2 = 16384 + 256 = 16640 \]

Результат совпадает с правой частью уравнения. Значит, точка M0 — точка на окружности, и касательная в ней — еще и острая касательная.

Шаг 3: Найдём уравнение касательной на окружности в точке M0

Общий подход:
Касательная к окружности \((x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2\) в точке \((x_0, y_0)\), которая принадлежит окружности, задается уравнением:

\[ (x - x_0)(x_0) + (y - y_0)(y_0) = r^2 \]

или с помощью градиента окружности, то есть, дифференциация уравнения окружности.

Шаг 4: Находим радиус окружности

Из уравнения:
\[(x+3)^2 + (y-9)^2 = 16640\]

Радиус:
\[ r = \sqrt{16640} \approx 129 \]

Но для точности лучше оставить в виде \(\sqrt{16640}\).

Шаг 5: Дифференцируем уравнение окружности

Обозначим уравнение: \[ F(x, y) = (x+3)^2 + (y-9)^2 - 16640 = 0 \]

Найдем частные производные: \[ \frac{\partial F}{\partial x} = 2(x+3) \] \[ \frac{\partial F}{\partial y} = 2(y-9) \]

На точке M0(125, -7):

\[ \frac{\partial F}{\partial x} = 2(125+3) = 2 \times 128 = 256 \] \[ \frac{\partial F}{\partial y} = 2(-7 - 9) = 2 \times (-16) = -32 \]

Шаг 6: Уравнение касательной

Касательная в точке \((x_0, y_0)\) — это касательная к окружности, то есть уравнение относительно точек, и оно задается градиентом функции:

\[ \frac{\partial F}{\partial x} (x - x_0) + \frac{\partial F}{\partial y} (y - y_0) = 0 \]

Подставим числа:

\[ 256(x - 125) - 32(y + 7) = 0 \]

Раскроем скобки:

\[ 256x - 256 \times 125 - 32y - 32 \times 7 = 0 \]

Вычислим множители:

\[ 256 \times 125 = 32000 \] \[ 32 \times 7 = 224 \]

Итак:

\[ 256x - 32000 - 32y - 224 = 0 \]

Объединим:

\[ 256x - 32y - (32000 + 224) = 0 \] \[ 256x - 32y - 32224 = 0 \]

Чтобы привести к виду \( y = kx + d \), выделим \( y \):

\[ -32 y = -256 x + 32224 \]

или

\[ y = \frac{256 x - 32224}{32} \]

Упростим дробь:

\[ \frac{256}{32} = 8, \quad \frac{32224}{32} = 1007 \]

Итак:

\[ y = 8 x - 1007 \]

Шаг 7: Вывести ответ

В виде \( y = k x + d \):

\[ k = 8; \quad d = -1007 \]

Ответ: 8; -1007