Запишите уравнение касательной к окружности (x+3)^2+(y-9)^2=16640 в точке M0(125,-7) в виде y=kx+d. в ответ введите через точку с запятой значения: k;d.

Давайте пошагово решим задачу. **Шаг 1: Запишем уравнение окружности** Дано: \[(x+3)^2 + (y-9)^2 = 16640\] **Шаг 2: Проверим, подключена ли точка к окружности** Нам нужно найти касательную к окружности в точке M0(125, -7). Но чтобы касательная действительно была к окружности, точка M0 должна лежать на окружности или же мы ищем касательную в произвольной точке, которая должна удовлетворять уравнению окружности. Проверим, находится ли точка M0 на окружности: \[ (x+3)^2 + (y-9)^2 = (125+3)^2 + (-7-9)^2 = (128)^2 + (-16)^2 = 16384 + 256 = 16640 \] Результат совпадает с правой частью уравнения. Значит, точка M0 — точка на окружности, и касательная в ней — еще и острая касательная. **Шаг 3: Найдём уравнение касательной на окружности в точке M0** Общий подход: Касательная к окружности \((x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2\) в точке \((x_0, y_0)\), которая принадлежит окружности, задается уравнением: \[ (x - x_0)(x_0) + (y - y_0)(y_0) = r^2 \] или с помощью градиента окружности, то есть, дифференциация уравнения окружности. **Шаг 4: Находим радиус окружности** Из уравнения: \[(x+3)^2 + (y-9)^2 = 16640\] Радиус: \[ r = \sqrt{16640} \approx 129 \] Но для точности лучше оставить в виде \(\sqrt{16640}\). **Шаг 5: Дифференцируем уравнение окружности** Обозначим уравнение: \[ F(x, y) = (x+3)^2 + (y-9)^2 - 16640 = 0 \] Найдем частные производные: \[ \frac{\partial F}{\partial x} = 2(x+3) \] \[ \frac{\partial F}{\partial y} = 2(y-9) \] На точке M0(125, -7): \[ \frac{\partial F}{\partial x} = 2(125+3) = 2 \times 128 = 256 \] \[ \frac{\partial F}{\partial y} = 2(-7 - 9) = 2 \times (-16) = -32 \] **Шаг 6: Уравнение касательной** Касательная в точке \((x_0, y_0)\) — это касательная к окружности, то есть уравнение относительно точек, и оно задается градиентом функции: \[ \frac{\partial F}{\partial x} (x - x_0) + \frac{\partial F}{\partial y} (y - y_0) = 0 \] Подставим числа: \[ 256(x - 125) - 32(y + 7) = 0 \] Раскроем скобки: \[ 256x - 256 \times 125 - 32y - 32 \times 7 = 0 \] Вычислим множители: \[ 256 \times 125 = 32000 \] \[ 32 \times 7 = 224 \] Итак: \[ 256x - 32000 - 32y - 224 = 0 \] Объединим: \[ 256x - 32y - (32000 + 224) = 0 \] \[ 256x - 32y - 32224 = 0 \] Чтобы привести к виду \( y = kx + d \), выделим \( y \): \[ -32 y = -256 x + 32224 \] или \[ y = \frac{256 x - 32224}{32} \] Упростим дробь: \[ \frac{256}{32} = 8, \quad \frac{32224}{32} = 1007 \] Итак: \[ y = 8 x - 1007 \] **Шаг 7: Вывести ответ** В виде \( y = k x + d \): \[ k = 8; \quad d = -1007 \] **Ответ:** 8; -1007