Давайте разберёмся с заданной функцией и найдём её второй производной ( y''(x) ), а также вычислим её значение в точке ( x = 1 ).
Шаг 1: Запись функции
Дана функция:
[
y = 2 \cdot (-4 \arccot x) = -8 \arccot x
]
Шаг 2: Производные функции ( y )
Нам нужно найти ( y''(x) ). Сначала вычислим первую производную ( y' ).
Шаг 3: Находим первую производную ( y' )
Учитывая, что:
[
y = -8 \arccot x
]
Используем известное производное функции ( \arccot x ):
[
\frac{d}{dx} \arccot x = - \frac{1}{1 + x^2}
]
Тогда:
[
y' = -8 \cdot \frac{d}{dx} \arccot x = -8 \cdot \left( - \frac{1}{1 + x^2} \right ) = \frac{8}{1 + x^2}
]
Шаг 4: Находим вторую производную ( y'' )
Теперь дифференцируем ( y' ):
[
y' = \frac{8}{1 + x^2}
]
Используем правило дифференцирования частного или проще – формулу для производной функции вида ( \frac{c}{f(x)} ):
[
\frac{d}{dx} \left( \frac{c}{f(x)} \right) = - c \cdot \frac{f'(x)}{f(x)^2}
]
Здесь:
- ( c = 8 )
- ( f(x) = 1 + x^2 )
- ( f'(x) = 2x )
Итак:
[
y'' = -8 \cdot \frac{2x}{(1 + x^2)^2} = - \frac{16x}{(1 + x^2)^2}
]
Шаг 5: Вычислив ( y''(x) ), теперь найдём его значение при ( x = 1 )
Подставим ( x=1 ):
[
y''(1) = - \frac{16 \cdot 1}{(1 + 1^2)^2} = - \frac{16}{(1 + 1)^2} = - \frac{16}{(2)^2} = - \frac{16}{4} = -4
]
Итог:
[
\boxed{
\text{Значение } y''(1) = -4
}
]
Если нужно сразу ответ для задачи — это и есть искомое значение.
