дана функция y=2*(-4arcctg x) найдите y^,,(x). в ответ введите значение y^,,(1)
Давайте разберёмся с заданной функцией и найдём её второй производной \( y''(x) \), а также вычислим её значение в точке \( x = 1 \).
Шаг 1: Запись функции
Дана функция: \[ y = 2 \cdot (-4 \arccot x) = -8 \arccot x \]
Шаг 2: Производные функции \( y \)
Нам нужно найти \( y''(x) \). Сначала вычислим первую производную \( y' \).
Шаг 3: Находим первую производную \( y' \)
Учитывая, что: \[ y = -8 \arccot x \]
Используем известное производное функции \( \arccot x \): \[ \frac{d}{dx} \arccot x = - \frac{1}{1 + x^2} \]
Тогда: \[ y' = -8 \cdot \frac{d}{dx} \arccot x = -8 \cdot \left( - \frac{1}{1 + x^2} \right ) = \frac{8}{1 + x^2} \]
Шаг 4: Находим вторую производную \( y'' \)
Теперь дифференцируем \( y' \): \[ y' = \frac{8}{1 + x^2} \]
Используем правило дифференцирования частного или проще – формулу для производной функции вида \( \frac{c}{f(x)} \):
\[ \frac{d}{dx} \left( \frac{c}{f(x)} \right) = - c \cdot \frac{f'(x)}{f(x)^2} \]
Здесь:
- \( c = 8 \)
- \( f(x) = 1 + x^2 \)
- \( f'(x) = 2x \)
Итак: \[ y'' = -8 \cdot \frac{2x}{(1 + x^2)^2} = - \frac{16x}{(1 + x^2)^2} \]
Шаг 5: Вычислив \( y''(x) \), теперь найдём его значение при \( x = 1 \)
Подставим \( x=1 \):
\[ y''(1) = - \frac{16 \cdot 1}{(1 + 1^2)^2} = - \frac{16}{(1 + 1)^2} = - \frac{16}{(2)^2} = - \frac{16}{4} = -4 \]
Итог:
\[ \boxed{ \text{Значение } y''(1) = -4 } \]
Если нужно сразу ответ для задачи — это и есть искомое значение.
