Решить уравнение на снимке

Рассмотрим данное уравнение: \[ \sqrt{3x + 1} = x^2 - 1 \] Для его решения необходимо учитывать, что выражение под квадратным корнем (левая часть) неотрицательно, а также, что правая часть должна быть также неотрицательной, так как левая часть — это корень квадратный. ## Шаг 1: Ограничения \[ x^2 - 1 \geq 0 \Rightarrow x^2 \geq 1 \Rightarrow x \leq -1 \quad \text{или} \quad x \geq 1 \] Также, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \[ 3x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -\frac{1}{3} \] Следовательно, область определения: \[ x \leq -1 \quad \text{или} \quad x \geq 1 \] Область допустимых значений — это \( (-\infty, -1] \cup [1, \infty) \). --- ## Шаг 2: Возводим обе части в квадрат Чтобы избавиться от корня, возьмём квадрат обеих частей уравнения: \[ (\sqrt{3x + 1})^2 = (x^2 - 1)^2 \] Это даёт: \[ 3x + 1 = (x^2 - 1)^2 \] Раскроем правую часть: \[ 3x + 1 = (x^2 - 1)^2 = x^4 - 2x^2 + 1 \] ## Шаг 3: Получаем уравнение Перенесем все в левую сторону: \[ x^4 - 2x^2 - 3x + 1 - 1 = 0 \] Упростим: \[ x^4 - 2x^2 - 3x = 0 \] или \[ x (x^3 - 2x - 3) = 0 \] ## Шаг 4: Решение уравнения Из этого следует два варианта: 1. \( x = 0 \) 2. \( x^3 - 2x - 3 = 0 \) Рассмотрим их отдельно. --- ## Шаг 5: Проверка корня \( x=0 \) Для \( x=0 \): Левая часть исходного уравнения: \[ \sqrt{3 \cdot 0 + 1} = \sqrt{1} = 1 \] Правая часть: \[ 0^2 - 1 = -1 \] Не равны, значит, \( x=0 \) — не решение. --- ## Шаг 6: Решение уравнения \( x^3 - 2x - 3 = 0 \) Попробуем найти рациональные корни, применяя теорему Виета: Вероятные рациональные корни — делители свободного члена (3): \(\pm 1, \pm 3\). Проверим их: - Для \( x=1 \): \[ 1^3 - 2 \cdot 1 - 3 = 1 - 2 - 3 = -4 \neq 0 \] - Для \( x=-1 \): \[ -1 - 2 \cdot (-1) - 3 = -1 + 2 - 3 = -2 \neq 0 \] - Для \( x=3 \): \[ 27 - 6 - 3 = 18 \neq 0 \] - Для \( x=-3 \): \[ -27 - 2 \cdot (-3) - 3 = -27 + 6 - 3 = -24 \neq 0 \] Рациональных решений нет, следовательно, ищем корни численным или графическим методом или применяем метод выделения корней. --- ## Шаг 7: Анализ уравнения \( x^3 - 2x - 3 = 0 \) Обратим внимание, что при подстановке \( x=2 \): \[ 8 - 4 - 3 = 1 \neq 0 \] При \( x=1.5 \): \[ (1.5)^3 - 2 \cdot 1.5 - 3= 3.375 - 3 - 3 = -2.625 \neq 0 \] Между \( x=2 \) и \( x=3 \) есть корень, так как функция меняет знак. Девердженс функции: \[ f(x) = x^3 - 2x - 3 \] Где: \[ f'(x) = 3x^2 - 2 > 0 \quad \text{для всех} \quad x \] Поскольку производная положительна для всех \( x \), функция возрастает, следовательно, уравнение — имеет только один корень. График функции показывает, что корень находится примерно в районе \( x \approx 2.1 \). Проверим точку \( x=2 \): \[ 8 - 4 - 3 = 1 > 0 \] и в \( x=1.9 \): \[ (1.9)^3 - 2 \cdot 1.9 - 3 \approx 6.86 - 3.8 - 3 = 0.06 > 0 \] В \( x=1.8 \): \[ 5.83 - 3.6 - 3 = -0.77 < 0 \] Таким образом, корень примерно в районе \( x \approx 1.85 \). Поскольку это приближение, возьмем примерное решение: \[ x \approx 1.85 \] --- ## Шаг 8: Проверка исходного уравнения Проверяем, подходит ли \( x \approx 1.85 \): Левая часть: \[ \sqrt{3 \times 1.85 + 1} = \sqrt{5.55 + 1} = \sqrt{6.55} \approx 2.56 \] Правая часть: \[ (1.85)^2 - 1 = 3.42 - 1 = 2.42 \] Разница невелика, значит, в пределах приближения — это подходит. Поскольку мы учли ограничения, и это число входит в область допустимых значений (больше 1), — **это решение**. --- ## Итог: Ответ: приблизительно \( \boxed{x \approx 1.85} \). --- Если нужен точный ответ — его можно получить только численным методом или специальными вычислительными средствами, либо оставить в виде, приближенном к этому. Если вам нужна помощь с более точной аппроксимацией или графическим анализом, скажите!