Рассмотрим задачу поэтапно.
Дано:
- Длина первого отрезка пути: ( j = 6, \text{м} )
- Время прохождения первого отрезка: ( t_1 = 2, \text{с} )
- Время прохождения второго отрезка: ( t_2 = 21, \text{с} )
- Оставшийся путь после второго отрезка: также ( 6, \text{м} )
- Принято считать сопротивление постоянным.
Задача: найти скорость шайбы в конце первого отрезка.
Шаг 1. Определение начальных условий
Обозначим:
- ( v_1 ) — скорость в конце первого отрезка, которую нужно найти,
- ( v_0 ) — скорость в начале первого отрезка.
Так как шайба движется с сопротивлением, её скорость меняется со временем.
Шаг 2. Связь между скоростью и движением при постоянном сопротивлении
При сопротивлении с постоянной силой сопротивления ( F ) (против движения) и массе ( m ) у шайбы:
- Уравнение движения:
[
m \frac{d v}{d t} = -F
]
- Поскольку сила постоянна, ускорение (деградация скорости):
[
a = \frac{d v}{d t} = - \frac{F}{m} = \text{const}
]
Обозначим: ( a = -a_0 ), где ( a_0 > 0 ).
Тогда выражение для скорости:
[
v(t) = v_0 + a t
]
Шаг 3. Вычисление скорости после первого отрезка
Из условия:
[
v_1 = v( t_1 ) = v_0 + a t_1
]
Также рассматриваем длину пути за первый отрезок как:
[
s_1 = \int_{0}^{t_1} v(t) dt = v_0 t_1 + \frac{a t_1^2}{2}
]
Из условия: ( s_1 = 6, \text{м} ). Подставим:
[
6 = v_0 \times 2 + \frac{a \times 4}{2} \Rightarrow 6 = 2 v_0 + 2a
]
или
[
3 = v_0 + a
]
Шаг 4. Вычисление параметров из второго отрезка
Во втором отрезке скорость в начале — ( v_1 ), и она движется за ( t_2 = 21, \text{с} ) с постоянным ускорением ( a ):
[
v(t) = v_1 + a t
]
Общая длина второго отрезка:
[
s_2 = v_1 t_2 + \frac{a t_2^2}{2}
]
Из условия: ( s_2 = 6, \text{м} ). Подставим:
[
6 = v_1 \times 21 + \frac{a \times 441}{2}
]
или
[
6 = 21 v_1 + 220.5 a
]
Шаг 5. Решение системы уравнений
Получили систему двух уравнений:
( 3 = v_0 + a )
( 6 = 21 v_1 + 220.5 a )
Кроме того, из движения: ( v_1 = v_0 + a t_1 = v_0 + 2a ).
Подставим ( v_1 ) в уравнение для второго сегмента:
[
6 = 21 (v_0 + 2a) + 220.5 a = 21 v_0 + 42 a + 220.5 a = 21 v_0 + 262.5 a
]
Теперь осталось выразить ( v_0 ) из первого уравнения:
[
v_0 = 3 - a
]
Подставляем в уравнение для второго сегмента:
[
6 = 21 (3 - a) + 262.5 a = 63 - 21 a + 262.5 a = 63 + 241.5 a
]
Получаем:
[
6 - 63 = 241.5 a \Rightarrow -57 = 241.5 a
]
Отсюда:
[
a = \frac{-57}{241.5} \approx -0.236, \text{м/с}^2
]
Теперь найдём ( v_0 ):
[
v_0 = 3 - a \approx 3 - (-0.236) = 3 + 0.236 = 3.236, \text{м/с}
]
И скорость в конце первого отрезка:
[
v_1 = v_0 + 2 a \approx 3.236 + 2 \times (-0.236) = 3.236 - 0.472 \approx 2.764, \text{м/с}
]
Ответ:
Скорость шайбы в конце первого отрезка пути примерно равна (\boxed{2.76, \text{м/с}}).
