Найди значение а при котором система будет иметь одно решение 3ax + 2y=a+3 6x+4y=2a+1

Давайте решим задачу, чтобы найти значение параметра \(a\), при котором система уравнений имеет одно решений. Дана система: \[ \begin{cases} 3ax + 2y = a + 3 \quad (1) \\ 6x + 4y = 2a + 1 \quad (2) \end{cases} \] **Шаг 1: Проанализируем систему** Обратим внимание, что уравнения выглядят очень похоже. Посмотрим, как они соотносятся. Объединим уравнения, чтобы понять, при каком \(a\) система имеет одно решение. --- **Шаг 2: Приведем уравнения к стандартному виду** Первое уравнение: \[ 3ax + 2y = a + 3 \] Второе уравнение: \[ 6x + 4y = 2a + 1 \] Обратим внимание, что у второго уравнения коэффициенты в 2 раза больше, чем у первого (по \(x\), по \(y\), а также свободный член), только у первого уравнения коэффициент при \(x\) зависит от \(a\). --- **Шаг 3: Упростим уравнение (2)** Разделим уравнение (2) на 2 чтобы было проще сравнить: \[ \frac{6x + 4y}{2} = \frac{2a + 1}{2} \implies 3x + 2y = a + \frac{1}{2} \] Теперь у нас есть: \[ (1) \quad 3ax + 2y = a + 3 \] \[ (2') \quad 3x + 2y = a + \frac{1}{2} \] --- **Шаг 4: Анализируем полученные уравнения** Обратите внимание, что обе уравнения имеют одинаковую левую часть, с разными правыми частями. Для системы уравнений: \[ \begin{cases} 3ax + 2y = a + 3 \\ 3x + 2y = a + \frac{1}{2} \end{cases} \] достаточно посмотреть на правые части. **Если эти уравнения совпадают по левым частям, то система имеет бесконечно много решений** при условии, что правые части равны. Если ли уравнения как минимум совпадают по левым частям, то при равенстве правых они будут зависеть друг от друга (совпадает вся линия). Если же правые части не равны, то в системе будет одно решение, если уравнения не накладываются друг на друга, то есть они не совпадают и не параллельны. --- **Шаг 5: Решения по \(a\)** Используем условие, чтобы система имела ровно **одно решение**. Так как у нас есть два уравнения: \[ 1) \quad 3ax + 2y = a + 3 \] \[ 2') \quad 3x + 2y = a + \frac{1}{2} \] можем выразить \(y\) из второго уравнения: \[ 3x + 2y = a + \frac{1}{2} \implies 2y = a + \frac{1}{2} - 3x \implies y = \frac{a + \frac{1}{2} - 3x}{2} \] Подставим это выражение в первое уравнение: \[ 3ax + 2 \left(\frac{a + \frac{1}{2} - 3x}{2}\right) = a + 3 \] Обратите внимание, что множитель 2 у числителя и знаменателя сократится: \[ 3ax + a + \frac{1}{2} - 3x = a + 3 \] Теперь сгруппируем по переменной \(x\): \[ 3ax - 3x + a + \frac{1}{2} = a + 3 \] Перенесем всё в левую сторону: \[ (3a x - 3x) + (a + \frac{1}{2}) - (a + 3) = 0 \] Упростим: \[ 3x(a - 1) + a + \frac{1}{2} - a - 3 = 0 \] Сыграв по шагам: \[ 3x(a - 1) + \left(a - a\right) + \left(\frac{1}{2} - 3\right) = 0 \] \[ 3x(a - 1) + 0 - \frac{5}{2} = 0 \] Или: \[ 3x(a - 1) = \frac{5}{2} \] **Шаг 6: Разобьемся на случаи** - Если \(a \neq 1\), то можно выразить \(x\): \[ x = \frac{5/2}{3(a - 1)} = \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{3(a - 1)} = \frac{5}{6(a - 1)} \] и тогда \(y\) выйдет из предыдущего выражения. - Если \(a = 1\), то уравнение сводится к: \[ 3x(0) = \frac{5}{2} \implies 0 = \frac{5}{2} \] Что невозможно. Значит, при \(a=1\) **система несовместна** и решений не имеет. --- **Шаг 7: Обработка варианта \(a \neq 1\)** При \(a \neq 1\), существует единственное решение, выведенное из уравнения для \(x\). Далее подставим \(x\) в выражение для \(y\): \[ y = \frac{a + \frac{1}{2} - 3x}{2} \] Подставляя \(x = \frac{5}{6(a - 1)}\): \[ y = \frac{a + \frac{1}{2} - 3 \cdot \frac{5}{6(a - 1)}}{2} \] Упростим: \[ y = \frac{a + \frac{1}{2} - \frac{15}{6(a - 1)}}{2} = \frac{a + \frac{1}{2} - \frac{5}{2(a - 1)}}{2} \] Чтобы не усложнять, важно понять, что при \(a \neq 1\), есть ровно одно решение, следовательно, система имеет одно решение. --- **Шаг 8: Итог** - Для \(a=1\) система **не имеет решений**. - Для любого другого \(a \neq 1\), система **имеет ровно одно решение**. **Ответ:** \[ \boxed{ a \neq 1 } \] При этом: - Если нужно указать только то, при каком \(a\) решение существует и является единственным, то это все \(a\), кроме \(a=1\).