Сто школьников одновременно изучали английский и немецкий языки. По окончании курсов они сдавали экзамен, который показал, что 10 школьников не освоили ни тот, ни другой язык. Из…

Рассмотрим задачу поэтапно. Обозначим:

• Общее количество школьников: \( N \)
• Количество школьников, не сдававших ни один язык: 10
• Количество школьников, сдавших немецкий: 75
• Количество школьников, сдавших английский: 83
• Количество школьников, сдавших оба языка: \( x \)

Нам нужно найти \( x \).

Шаг 1: Определим число школьников, сдававших хотя бы один язык

Общее число учеников, сдававших хотя бы один язык, — это все школьники минус те, кто не сдал ни одного:

\[ N - 10 \]

Шаг 2: Используем формулу объединения множеств для двух языков

Количество школьников, сдававших либо английский, либо немецкий (или оба), — это сумма тех, кто сдал английский и немецкий, минус те, кто сдал оба:

\[ \text{Количество сдавших хотя бы один язык} = (число, сдававших английский) + (число, сдававших немецкий) - (число, сдававших оба языка) \]

Подставим известные значения:

\[ N - 10 = 83 + 75 - x \]

Шаг 3: Определим \( N \)

Обратим внимание, что \( N \) — общее число школьников, а мы предполагаем, что те, кто не сдали ни один язык, — 10. Тогда:

\[ N = (число, сдававших хотя бы один язык) + 10 \]

Но чтобы найти \( x \), достаточно выразить его через \( N \).

Шаг 4: Выразим \( N \) через \( x \)

Из формулы:

\[ N - 10 = 158 - x \]

Следовательно:

\[ N = 168 - x \]

Поскольку количество школьников равно \( N \), оно должно быть также равно количеству тех, кто сдал хотя бы один язык, плюс 10 не сдавших.

Можем записать:

\[ N = (83 + 75 - x) + 10 = 158 - x + 10 = 168 - x \]

Это совпадает с предыдущим выражением, что подтверждает корректность.

Шаг 5: Итоговое решение

Чтобы найти \( x \), достаточно понять, что общее число школьников \( N \) равно \( 168 - x \), и что оно должно быть больше или равно количеству, сдававших хотя бы один язык.

так как \( N \) — целое число, а число учеников не может быть отрицательным, попробуем найти число \( x \).

Обозначим:

\[ N = 168 - x \]

Количество школьников, сдававших хотя бы один язык:

\[ N - 10 = 158 - x \]

Но оно равно \( 83 + 75 - x = 158 - x \), что подтверждает, что:

\[ N = 168 - x \]

Следовательно, \( N \) может быть любым, а \( x \) — число сдавших оба языка.

Шаг 6: Определение \( x \)

Так как \( N \) — общее число школьников, и это число не может быть меньше количества, сдавших хотя бы один язык (83 и 75), то:

\[ N \geq \max(83, 75) = 83 \]

Также, из выражений:

\[ N = 168 - x \]

Чтобы \( N \geq 83 \):

\[ 168 - x \geq 83 \] \[ x \leq 168 - 83 = 85 \]

Поскольку число, сдающих оба языка, не может превышать минимальное из двух — 75 и 83, то:

\[ x \leq 75 \]

Рассмотрим случай, когда \( x \) максимально возможное (так как оно отвечает за пересечение):

\[ x = 75 \]

Проверим, что всё соответствует.

Итог:

Количество школьников, сдавших оба языка — 75.

---

Ответ:

75 школьников сдали оба языка.