Рассмотрим задачу поэтапно. Обозначим:
- Общее количество школьников: ( N )
- Количество школьников, не сдававших ни один язык: 10
- Количество школьников, сдавших немецкий: 75
- Количество школьников, сдавших английский: 83
- Количество школьников, сдавших оба языка: ( x )
Нам нужно найти ( x ).
Шаг 1: Определим число школьников, сдававших хотя бы один язык
Общее число учеников, сдававших хотя бы один язык, — это все школьники минус те, кто не сдал ни одного:
[
N - 10
]
Шаг 2: Используем формулу объединения множеств для двух языков
Количество школьников, сдававших либо английский, либо немецкий (или оба), — это сумма тех, кто сдал английский и немецкий, минус те, кто сдал оба:
[
\text{Количество сдавших хотя бы один язык} = (число, сдававших английский) + (число, сдававших немецкий) - (число, сдававших оба языка)
]
Подставим известные значения:
[
N - 10 = 83 + 75 - x
]
Шаг 3: Определим ( N )
Обратим внимание, что ( N ) — общее число школьников, а мы предполагаем, что те, кто не сдали ни один язык, — 10. Тогда:
[
N = (число, сдававших хотя бы один язык) + 10
]
Но чтобы найти ( x ), достаточно выразить его через ( N ).
Шаг 4: Выразим ( N ) через ( x )
Из формулы:
[
N - 10 = 158 - x
]
Следовательно:
[
N = 168 - x
]
Поскольку количество школьников равно ( N ), оно должно быть также равно количеству тех, кто сдал хотя бы один язык, плюс 10 не сдавших.
Можем записать:
[
N = (83 + 75 - x) + 10 = 158 - x + 10 = 168 - x
]
Это совпадает с предыдущим выражением, что подтверждает корректность.
Шаг 5: Итоговое решение
Чтобы найти ( x ), достаточно понять, что общее число школьников ( N ) равно ( 168 - x ), и что оно должно быть больше или равно количеству, сдававших хотя бы один язык.
так как ( N ) — целое число, а число учеников не может быть отрицательным, попробуем найти число ( x ).
Обозначим:
[
N = 168 - x
]
Количество школьников, сдававших хотя бы один язык:
[
N - 10 = 158 - x
]
Но оно равно ( 83 + 75 - x = 158 - x ), что подтверждает, что:
[
N = 168 - x
]
Следовательно, ( N ) может быть любым, а ( x ) — число сдавших оба языка.
Шаг 6: Определение ( x )
Так как ( N ) — общее число школьников, и это число не может быть меньше количества, сдавших хотя бы один язык (83 и 75), то:
[
N \geq \max(83, 75) = 83
]
Также, из выражений:
[
N = 168 - x
]
Чтобы ( N \geq 83 ):
[
168 - x \geq 83
]
[
x \leq 168 - 83 = 85
]
Поскольку число, сдающих оба языка, не может превышать минимальное из двух — 75 и 83, то:
[
x \leq 75
]
Рассмотрим случай, когда ( x ) максимально возможное (так как оно отвечает за пересечение):
[
x = 75
]
Проверим, что всё соответствует.
Итог:
Количество школьников, сдавших оба языка — 75.
Ответ:
75 школьников сдали оба языка.
