В правильной треугольной пирамиде с высотой h= 6 и стороной основания а=3 проведено сечение плоскостью, параллельна её боковому ребру. Найдите площадь этого сечения, если известно, что это - квадрат. A) 36 Б) 24 B) 9 Г) 2,25

Рассмотрим задачу поэтапно. **Дано:** - Высота пирамиды \( h = 6 \) - Сторона основания \( a = 3 \) - Проведено сечение плоскостью, параллельной боковому ребру, и оно является квадратом. **Цель:** Найти площадь сечения. --- ### Шаг 1: Построение и понимание задачи Рассмотрим правильную треугольную пирамиду с основанием в виде равностороннего треугольника со стороной \( a = 3 \). - Основание — равносторонний треугольник. - Высота пирамиды — одна из боковых высот, от вершины до основания, равна \( h = 6 \). Далее важно понять: сечение — плоскость, параллельная боковому ребру, при этом оно является квадратом. --- ### Шаг 2: Анализ сечения Наиболее удобно представить внутреннюю систему координат: - Пусть вершина пирамиды — точка \( V \), \( Z \)-оси идёт вдоль высоты. - Основание — в плоскости \( z=0 \), а вершина — в точке \( V \) в высоте \( z=6 \). Пьющим образом: - Вершина пирамиды — \( V(0,0,6) \), - Основание — треугольник, центр которого в точке \( O(0,0,0) \). --- ### Шаг 3: Определение и расположение пластины сечения Плоскость идет параллельно боковому ребру. В правильной пирамиде боковые ребра — образуют равнобедренные треугольники. Пусть сечение — плоскость, параллельная одной из боковых граней (например, боковому ребру, идущему из вершины к середине основания). До этого момента важно понять, что сечение — квадрат, а оно расположено так, что эта плоскость пересекает основание и боковые грани, образуя квадрат. --- ### Шаг 4: Геометрия сечения Проблема — определить сторону квадрата на сечении. Поскольку сечение параллельно боковому ребру, оно расположено внутри пирамиды по определенной пропорции. Поскольку сечение — квадрат, то его стороны равны, и он образует параллельную линию внутри пирамиды. --- ### Шаг 5: Используем свойства пропорций Параллельное сечение в пирамиде делит ее высоту \(\ d \) на пропорциональные части. Обозначим высоты сечения и стороны. Пусть \( t \) — отношение высоты сечения к общей высоте \( h \): \[ t = \frac{h_s}{h} \] где \( h_s \) — высота до плоскости сечения. Так как сечение — квадрат, его стороны пропорциональны квадрату \( t \): \[ \text{сторона} \ \ell = a \times t \] где \( a=3 \). Тогда: \[ \ell = 3 \times t \] Чтобы найти площадь квадрата: \[ S = \ell^2 = (3t)^2 = 9t^2 \] --- ### Шаг 6: Определение \( t \) Поняв, что сечение — параллельное боковому ребру, и благодаря свойствам пирамиды, внутренние сечения подобны основанию, и высотное деление происходит по \( t \). Врем полностью пропорциально: - Размер сечения — \( (1 - t) \times a \), - Площадь сечения — \( 9 t^2 \). Для получения правильной площади, учтем, что по условию, сечение — квадрат. Исходя из геометрии, максимальная площадь квадрата в пирамиде достигается при \( t = 1/2 \). Тогда: \[ S = 9 \times \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 9 \times \frac{1}{4} = 2.25 \] --- ### **Ответ**: Площадь квадрата сечения равна **2,25**. --- ## Итог: **Правильный ответ: Г) 2,25**