5^(7x-6) = 15^x
Давайте решим уравнение \( 5^{7x - 6} = 15^x \) пошагово и подробно объясним каждое действие.
Шаг 1: Записать уравнение
\[ 5^{7x - 6} = 15^x \]
Шаг 2: Представить обе стороны с помощью одного основания или разложить 15
Заметим, что 15 можно разложить через 3 и 5:
\[ 15 = 3 \times 5 \]
Тогда правая часть уравнения:
\[ 15^x = (3 \times 5)^x = 3^x \times 5^x \]
Теперь уравнение принимает вид:
\[ 5^{7x - 6} = 3^x \times 5^x \]
Шаг 3: Вынести 5^x из правой части
Обратим внимание, что в правой части есть множитель 5^x, и мы можем переписать уравнение как:
\[ 5^{7x - 6} = 5^x \times 3^x \]
или
\[ 5^{7x - 6} = 5^x \times 3^x \]
Чтобы упростить, разделим обе части уравнения на 5^x (при условии, что основание не равно 1 или 0, что здесь выполняется):
\[ \frac{5^{7x - 6}}{5^x} = 3^x \]
Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием:
\[ 5^{(7x - 6) - x} = 3^x \]
или
\[ 5^{6x - 6} = 3^x \]
Шаг 4: Преобразовать уравнение с одинаковыми основаниями
Получили:
\[ 5^{6x - 6} = 3^x \]
Это уравнение связывает экспоненты с разными основаниями. Чтобы решить его, лучше всего взять логарифм обеих частей уравнения.
Шаг 5: Взять логарифмы обеих сторон
Используем любой логарифм (например, натуральный — \(\ln\)):
\[ \ln(5^{6x - 6}) = \ln(3^x) \]
Используем свойства логарифмов:
\[ (6x - 6) \ln 5 = x \ln 3 \]
Шаг 6: Раскрыть скобки и собрать уравнение
Раскроем левую сторону:
\[ 6x \ln 5 - 6 \ln 5 = x \ln 3 \]
Перенесем все с x на одну сторону:
\[ 6x \ln 5 - x \ln 3 = 6 \ln 5 \]
Вынесем x за скобки:
\[ x (6 \ln 5 - \ln 3) = 6 \ln 5 \]
Шаг 7: Решить относительно x
Если выражение в скобках не равно нулю, выразим x:
\[ x = \frac{6 \ln 5}{6 \ln 5 - \ln 3} \]
Это и есть решение уравнения.
Итог:
\[ \boxed{ x = \frac{6 \ln 5}{6 \ln 5 - \ln 3} } \]
Если нужно — можно оставить это в таком виде или вычислить примерно численно:
используя приближительные значения:
\[ \ln 5 \approx 1.6094, \quad \ln 3 \approx 1.0986 \]
Подставим:
\[ x \approx \frac{6 \times 1.6094}{6 \times 1.6094 - 1.0986} = \frac{9.6564}{9.6564 - 1.0986} = \frac{9.6564}{8.5578} \approx 1.128 \]
Если нужны дополнительные пояснения или расчет более точный, скажите!
