5^(7x-6) = 15^x

Давайте решим уравнение \( 5^{7x - 6} = 15^x \) пошагово и подробно объясним каждое действие. **Шаг 1: Записать уравнение** \[ 5^{7x - 6} = 15^x \] **Шаг 2: Представить обе стороны с помощью одного основания или разложить 15** Заметим, что 15 можно разложить через 3 и 5: \[ 15 = 3 \times 5 \] Тогда правая часть уравнения: \[ 15^x = (3 \times 5)^x = 3^x \times 5^x \] Теперь уравнение принимает вид: \[ 5^{7x - 6} = 3^x \times 5^x \] **Шаг 3: Вынести 5^x из правой части** Обратим внимание, что в правой части есть множитель 5^x, и мы можем переписать уравнение как: \[ 5^{7x - 6} = 5^x \times 3^x \] или \[ 5^{7x - 6} = 5^x \times 3^x \] Чтобы упростить, разделим обе части уравнения на 5^x (при условии, что основание не равно 1 или 0, что здесь выполняется): \[ \frac{5^{7x - 6}}{5^x} = 3^x \] Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием: \[ 5^{(7x - 6) - x} = 3^x \] или \[ 5^{6x - 6} = 3^x \] **Шаг 4: Преобразовать уравнение с одинаковыми основаниями** Получили: \[ 5^{6x - 6} = 3^x \] Это уравнение связывает экспоненты с разными основаниями. Чтобы решить его, лучше всего взять логарифм обеих частей уравнения. **Шаг 5: Взять логарифмы обеих сторон** Используем любой логарифм (например, натуральный — \(\ln\)): \[ \ln(5^{6x - 6}) = \ln(3^x) \] Используем свойства логарифмов: \[ (6x - 6) \ln 5 = x \ln 3 \] **Шаг 6: Раскрыть скобки и собрать уравнение** Раскроем левую сторону: \[ 6x \ln 5 - 6 \ln 5 = x \ln 3 \] Перенесем все с x на одну сторону: \[ 6x \ln 5 - x \ln 3 = 6 \ln 5 \] Вынесем x за скобки: \[ x (6 \ln 5 - \ln 3) = 6 \ln 5 \] **Шаг 7: Решить относительно x** Если выражение в скобках не равно нулю, выразим x: \[ x = \frac{6 \ln 5}{6 \ln 5 - \ln 3} \] Это и есть решение уравнения. --- ### Итог: \[ \boxed{ x = \frac{6 \ln 5}{6 \ln 5 - \ln 3} } \] **Если нужно — можно оставить это в таком виде или вычислить примерно численно:** используя приближительные значения: \[ \ln 5 \approx 1.6094, \quad \ln 3 \approx 1.0986 \] Подставим: \[ x \approx \frac{6 \times 1.6094}{6 \times 1.6094 - 1.0986} = \frac{9.6564}{9.6564 - 1.0986} = \frac{9.6564}{8.5578} \approx 1.128 \] --- Если нужны дополнительные пояснения или расчет более точный, скажите!